Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET I1ETIHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES II. III. 1. N~. 41, 42

1 - a
41. Soit encore p(x) --, done
1 —x
1 -pa eaxi _1 —.paCos.ax-pa iSin.ax (1-pa Cos.ax-pai Sin.ax)j(1-p Cos.x +piSin.x)
q~ (P ezi)
q(Pe 1 - l-pex'i 1-p Cos. x-pi Sin. ( — p Cos. x) 2+ (p Sin. ) 2
-p Cos. x —pa Cos. a x+-pa+l Cos. {(a-1)x}.ip Sin. x4-pa Sin. a x+pa+l Sin.{(a —l )x}
_ - 1
1-2p Cos. x+ p2 l1-2p Cos. x —p2
1 -pCos. x-pa Cos. ax-pa+l Cos. {(a —x)} p Sil. +pa Sin. a xt pai-1 Sin.((a- -l)x}
et p(-) -1-2pCos. z — p2 1-2pCos. x+p2
1 ---,
1 -
Mais q (a) - 1 -+-x2 +...+ xa-1, done Bo 1 B -- B2 =... Ba-i1,
tandis que les B suivants sont tous nuls; ainsi on n'a qu'a etendre la sommation de 1 a- -
[46]. A present la substitution de tout ceci dans les formules (126) et (127) nous donne:
f ex f 1 —p Cos. x-pa Cos. ax -ta+1 Cos. a —1) } dx A - n
2~123~i _~ L_ L 'C dx 7TAO+= A -.:Anqn,.(133)
4- 2 2p Cos.x X + 2 I
_ _ _ __ p] Sin. x + paSin. ax+ pa+1 Sin. {(a 1)x} d a-I
fi( - - -L-) —(tet)pn +p ia rA, a 1 dx = - + Anqn. [47]. (134)
2 ~ ~ ~~~~i - 2 p Cos. x2 + 1j
Les formules (126) et (127), (129) et (130), (131) et (132), (133) et (134), peuvent inversement etre employees dans la sommation des series,et cela pour quatre cas divers: savoir, quancl il
s'agit de connaltre la somme
1~ des produits des termes de mmem rang de deux series;
2~ des produits des ternes non d'un meme rang de deux series;
3~ des termes equidistants d'une serie;
4~ des a - premiers termes d'une serie.
42. Lorsqu'on multiplie les formules (21) et (22) par Sin.np et Cos.np respectivement,
apres y avoir change q en n, on obtient, en prenant la somme des divers resultats pour toutes
les. valeurs de n depuis 1 jusqu'a c:
f n dx C n Sin. pnit
/( n)Sin.pn. - Sin.pn,. ()+/( — )] 2 2 l( )f( i) I
1 1 n 2 IV f n2 2'
O 0
Zf(n) Cos.p i n os.. 1 C/(i )-f(- + =) I(,i) -f (-i)jda Pd? 2+ +V 2 2 I 2
0 O
[46] Les formules (9) et (10) chez SCHLOnICIH, Algebr. Analysis, S. 232 auraient conduit aux memes
resultats.
[47] SMAASEN, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222.
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