Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. III. 1. N~o 59 40. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORRATIONT'

{(q;)b eixi} -cp {(-)b ebxi} 2i
rp e i cP e-xi /(pa eax)- (pae- ) d
J 2i ' 2i
c' qn\abn 7r C
o Ban -) Abnpapz= -. AbnBanqabn; [43]... 130)
I \pI 2. i
o1 il faut que a et b soient des nombres entiers, premiers entre eux.
40. Les equations (126) et (127) donnent lieu 'a quelques cas speciaux, qui ne sont pas sans
nteret. Soit en premier lieu cp() = 1 — alors on a aussi

11
(Y (re) I ---- - I
1 - (p exi)r 1 -?prerx

1 - p' Cos. r x - pri Sin. rx

et de mnme

1 -p Cos.rf+ - ipr Sin. r x 1 — pr Cos. r +- ipr Sin. rx
(1 - pr' Cos. rx) 2 - (p Sin.r x) 1 -_ p Cos. r x + p2r 5
1 - pr Cos. x - i pr Sin. r x
1 -- 2pr Cos., x + p2r

t (p e-xZ)

done:
(p (p exi) + qP (p e-xi) _

1 - pr Cos. r x
1- 2pr Cos. r x- p2r

cp (p xi) -- cp (p e-xi)
2i

p' Sin. r x
1 - 2 pr Cos. rx p27'~

gMais q (y) -=,1 - 1 + y y2r + y3 +.. (y < 1), done B = B, =2r B327 =.,..= 19
tandis que tous les autres B sont nuls: la condition de y < 1 devient dans le cas actuel
p< 1 [44]. Pour n'admettre dans la sommation que les Bnr, on n'a qu'h remplacer n par nr
son)s le signe de sommation: done enfin par 1'intermediaire des equations citees (126) et (127)

I
I1

2,f (fexi) - f (q e- xi)
2i

1 -prCos. rx nr c
i- ---— $ dx= Ao ' - A - + 'Anrqn',........ (131)
(131)
1- 2 pr Cos. r i p 2'
pr Sin. 'r x r c I
- pr --- S - dx == Anrq'r; [45]...... (132)
1 - 2 pr Cos. r x +p2r 2 1

o0
(il p < 1.

[43] SMAAISEN, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222.
[44] On aurait pu trouver les memres re'sultats par les formules (12) et (13) de SCHLOMILCH, Algebr.
Analysis. S. 232.
[45] SMAASEN, Journal von Crelle, Bd. 42, S. 222.
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