Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MiTIIODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. III. 1. N~. 59.

2 Cos. a n x. Cos. a b x Cos. {(n -b) a x +- Cos. {(n - b) a x},
2 Sin. a n x. Sin. a b = Cos. C(n -- b) a } - Cos. {(n + b) a x};
chaque integrale se divise donc en deux autres: dans la somamation de celles, qui correspondent
aux derniers termes de ces equations trigonometriqnes, toutes les integrales s'evanouissent: au contraire dans la sommation des integrales, qui correspondent aux premiers termes respectifs, il n'y
a que le terme pour la valeur b de n qui ait une valeur.
Dans la troisieme et la cinquieme equation (128) un tel cas ne peut se presenter; done toutes
les integrales sous les signes de sommation s'evanouiront; et les valeurs des integrales correspondantes seront nulles.
)'apres le numero precedent on a encore:
{j\bej+4(t)e-bxi} { (2)6ebxi} -c{ )%ebxi z= B, n
2 -B- -B0+ By,.') Cos.bnx, -}_ 1, ) } BI? S)nhxb
2 o gi Pi
d'ou l'on deduit les integrales d6finies:
i e + 2 e-bx
P+ ) f e J} f(paeai) +f(pae-axi) dX
I 2 d 2
(pa c' (q) bn: f (pa eaxi) _ { _ f (pa e-axi i)
f ( j t2 / \ p / fn ffa eaxi) -f (pa e-) ax
= B0 Jf(B qdx ~ - 2 Cos. bn z dx,
a 1 e
0 0
J.2i - i
b -
- z 1 5 \- ) ( 2 --- o,S^i n. b $ x d x.
+ \P] I a
Mais il suit des quatres dernieres des equations (128) que les integrales sous les signes de somlmation s'evanouissent, a moins que bn ne soit un multiple de a. Or, dans le cas ou nous supposons b premier par rapport a a, ii faut que n y soit un multiple de a: a cette condition nous
pourrons satisfaire, en ecrivant partout sous le signe de sommation na au lieu de n. Substituons
alors les valeurs respectives des integrales (128); et nous trouvons:. (~\~ b ebxiI -l 2 e-bxd
(\P) 2 -- f (p aeaxi)-tf(pa e —a i) dx B0 Ao -.B a(. A P b
n~ c/
=aAoBo+2 an2 B ( )
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