Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.

II. IT. N'. 36.

fldp dalq dp da-2 q] 1 l da-2q d2
dx dxa- dx dxa-2 i dxa-2 dx2
k k dIC

lda-i pdq du- d-p l (l dap
-a — dx d q- q q| dx.
J dxa dx x I -1I J dx"
Ic k k
dq q d-2 q -1
En cas que q d - d2q d-Xa — 1 s'eanouissent tous entre les limites k et 1
dx dx2 dia-I
naison de toutes ces equations donnera necessairement;
i( daq 1 ) dap
p- dx = (q)a q dx,.
xa d dx
4 4

de x, la combi-...... (123)

equation, qui peut etre regardee elle-meme comine une extension de la meothode mentionnee d'integration par parties.
2a —
Soit a present p = /f(), q = (1 - x) 2, - -1, 1 + 1 alors cette equation devient:
[+1 da ( 2a- +1 2a-1 da.f(x)
f1(x) 2 ^'1-2) 2 dx.....xd(124)
J ) da 2) 2 ) 1- dxa
ou les conditions sont satisfaites, puisque q et ses a- 1 differentielles s'evanouissent taut pour
= —1 que pour x = + 1. Mais M. JACOBI a trouve le theoreme:
da-. 2a - Sin. ax
da-1 {( _Y) — 2 )a- 1la/2-, lorsque y Cos. x; [39]
ady l [a
differentions cette equation encore une fois: le resultat
da 2a 1 _da. 2a-I
da. dy = _-_- 2) 2Sin.x- (- 2 (d = I ( 1)a la/2 os. ax, d
dx dya
est le facteur de la premiere integrale dans 'e'quation (1 24), pourvu qu'on y change x en Cos. x,
dx en -Sin. xdx, et que l'on prenne pour les limites de x, ir et 0. Renversons encore les
limites dans les deux membres de cette equation et nous aurons:
2a — f (Co
(fCos. $)( —I )a-l la/2 Cos. ax dx ( ]) (S 2 da.f(Co.x) ( x d )
f (Cos. x) )Si?
0 01
on bien
ou bien

[39] JACOBI, Journal von Crelle, Bd. 15, S. 1. - LIOIUVILLE, Journal de Liouville, T. 6, p. 69. -
GRJUNERT, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 104.
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