Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. f. Ni. 55, 56. TllEORIE, PROPRIETES, FO1RIMULES DE TRANSFORMATION,
c'est-a-dire, remarquons que
p'Cos.x.eni=-peXt. (exiL-X) -, p(i- e.)- p p/)(exl-i ) p ii -x, eSin
et que dans l'dquationl (a) (N'. 34) h est par consequent piexSia. x, alors le developpeme-nt
sous le signe d'integration suivant le theormec de TAYLORI donnera:
e(q+l)-iSin.q —1 xdx f( ) pi ei Sin'x d.f(p) pi2 2 exiSin.2 x d2.f(p)
TI ] S ^e(a+l)z 6Si.^-1 (p)+ -djf()dp + 1.2 dp2 +
o
pi d.f f(p) ) P i2 d2.f(p)
-- dx f (p)e'+l)ex1 Sin - +x-2)xi.q + *e(+3)xiS q+
I [1dp 1 2 dp2
o
Mais on trouve Partie IIi, Meth. 3, N'. 10 l'integrale definie
| e(a+-l)xSi.ua-l dx - e2awi
oi^ a
donc, quand on separe tous les termes de la serie preceddente, et qu'on les evalue selon la formule citc:
I ) I pi d.f(p) 1 p2 i d".f(p) Ie(+2)r
f /(p) 0 '+^ / el (q+ 1 — e~(-i)~i ' -- e r+
1 dp 9q+1 1.2 dp2 "+2
Mais d'un cote ia est eaa7'i et d'un autre cote e2a r, i 4a + 1, e(2a+-l)'i i(2a+1)2 -_
donel:
If 4 p~ 1 e i d.f(p) p2 1 ed2.f(p)
eqI C e f(p) + - -- e + 2 =I 2 jkr) ^l + 9 1~ dp 1.2 q+2 dp2
I gji fl p I d.f(p) p 2 1 d2.f(p)
- ec I f(p) +
qf 1 q + 1 dp 1. q + 2 d p2
Comparant ' present cette serie-ci a la se'rie (b), que l'on a obtenue dans le Nume'ro precedent, on
voit qu'elles sont identiques; donc, en consequence de la formule (118), on peut en conclure immnediatement que
f(p Cos. ezi) e(q+l)xriSiz.q — 1 x. dx i- i f(p ) (1 - x)-1 dx. [38].. (122)
o 0o
36. Soient p et q des fonctions quelconques de x: alors on verra tout de suite la validite
des equations suivantes, obtenues au moyen de l'integration par parties:
1 daq da-1 fd a- qdp
dx = p } dx 9
d.T dXa-1 dxa-. dx
k k
[381 KUNMtER, Joiurnal von Crelle, Bd; 20, S. 1.
Page 124.