Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES 1NTEGRALES DEFINIES. 11. II. N. 54 5.
I = Sin. q n. | f (p -- p y) yq-' dy
o
e'est-a-dire:
f(2pCos.x.e)e2xdx- -Sin q f {p(l t(- x)} q-ldx;...... (117)
2- o
ou encore, quand onil fait dans la derniere inteograle 1- = y, - dx -dy, avec 1 et 0 comme
limites de y, et qu'on renverse les limites:
f(pCos.. e e2qxid. Sin.r. f(pz) ( - )q- dx. [86]. (118)
0
ou q arbitraire. Quand q devient un nombre entier a, Sin. ar devient zero, et Fon a:
f(2p Cos. x. exi) e2axdx = 0, a nombre entier........... (119)
Mais si l'on divise les deux membres de l'equation (118) par Sin. q r, on obtient sous Pintegrale
du premier membre la fraction e2qxi: Sin. q r; pour q egal a un nombre entier, cette fraction doit
0
Etre o; donc, pour en avoir la valeur, il faut en diffdrentier le numerateur et le denominateur individuellement par rapport a q, c'est-a-dire:
e2axi 2 x i e2axi 2 i
_ - w ----— ~-a -. e2axi.
Sin. a r Cos. a 7: r Cos. a 7
-2
donc, apres la division par:
f (2 Cos. x. ei) -e2axida = - - Cos. a. f (px) ( - )ad... (12 0)
2 02
ld'ou pour a - 1:
jf(2 p Cos. x. exi) - exi x dx - f(px) dx; [37].......... (11)
J-2 0
— i o
toujours dans la supposition que f(x) soit developpable suivant la serie de T.YLOR.
35. Traitons de la merne manire l'integrale
I -—. (p Cos. x. 6) e(qe )xi Sin.-I x d.l,
[36] La deduction de KUMIMER, Journal von Crelle, Bd. 20, S. 1, est fautive.
[37] KuKUMMER, Journal von Crelle. Bd. 20, S. 1.
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