Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 1l. II. N'. 5, 54.
1 - 2p (e'i - 2 -4pi Sin.cp 12
- s(1.-2peri)+ (1-2 pe-Vi) l~(1 —pe) 4- (1- 2 - p e-i)
8 p2 Sin.2 (p
f v (1- 2 p ei) + 1'(1 -2 p e-i)} 2
done
dx =-Sin. d.~- p ( 2pe )+v 12pe-)}
x -- (1 -- 2 p e') (1 -- 2 p e-i) p Sin. q 1 V 8p edcp f| 1,1 )
2 1 -(1 -2 p^e) +tx' (1-2p e- ')J'
Lorsque la valeur de x crolt de 0 a 7, il resulte de I'equation, trouvee des le commencement
pour la valeur de d, qu'elle reste constamment positive avec l'expression 1 - 2p Cos. x; done il
faut que 2p reste moindre que l'unite: aussi dans le cas contraire serait-il facile de deduire, que
1'equation pour dx pourrait contenir un terme infini: la raison en est qu'alors, entre les limites 0
et Tr de x, Cos. (p deviendrait d'apres la supposition plus grande que 1'unitd, ce qui en effet est
impossible. Sous cette condition, comme alors il n'y a aucun maximum, on trouve done, lorsqu'on
change p en p:
f(Cos.. + Sin 2x)dx - f(Cos. x) dp i.. + d-Cope-x i)55
o o
car pour les deux limites 0 et a de x, on a Sin.2 = 0, don C Cos.; =Cos. x: de sorte que
les limites de la variable dans la seconde integrale coincident avec celles de la variable d'origine.
34. A present nous allons nous servir d'une methode differente, qui est basee sur P'usage de
ia serie de TAYLOR, et qui par cons6quent n'est applicable que dans les cas ou- cette serie n'offre,
pas do difficultes.
Par exemple, lorsque l'expression f(x) sous le signe d'int6gration dans l'integrale dlefinie
r2u
I:= f (2 p Cos. x. ex) e2qx dx
peut se developper au moyen de la serie mentionnee
f(P — 0 — (p) 4'a d. f(P) /1 +2"'d 2... (a)
f(P $I > =zf(p),- +_ j-+.,.. ~,. (a)
1 dp 1.2 dp2
on a 2p Cos. x.exi - p exi(exi + e-i) = p - pe2x, done h p e2i et par suite, en developpant
actuellement la fonction sous le signe d'integratidn:
[35] JAcoBI, Journal von Crelle, Bjd. 15, S. 1.
Page 121. 16
WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL VIII.