Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I. N~. 29, 30. THIEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Quand on supposait dans cette integrale () = F (22 -_ p q), on retomberait sur l'inturale (104);
mais la supposition de f(x) F ( -- ) donnerait ici:
o|-1 dD, = y -— E x ---^ I -1 ---dz. (no q)
ffr+pr+d J(px2~x+q) pJr + 2-4pq) (0)
30. Soit ntegrale
- cO
et faisons x2 + 2 p + 2 = y, d'oli (2 x + 2 p) dx = dy: il y aura donc un maximum ou
un minimum pour y, correspondant a la valeur de v, qui satisfait a l'equation 2 x + 2p = 0,
c'est-a dire 'a x -p, d'ot pour y la valeur correspondante q2 -p2. On en conclut encore quedy e
dans l'intervalle de = -- -o 'a ==-p, doit etre negatif, tandis que cette expression est posi —
d
tive pour les valeurs de x depuis -p jusques "a o. A present on a x =-p= V (p2 -_2 q+y)
Ad'o dr = -—; done dans le premier intervalle il faut employer le signe- dans
V( 92~ s+y)e
cette formule, tandis que le signe + vaut pour le second intervalle. On a done, puisque en outre
on trouve toujours y = cc tant pour x + co que pour x =- co,
Jf+p d i/ —q_ ---- /^^P2 -dx +d dx 111)
JJV2+2px+q2d- - f/(x) g. p2V 2~ (px)~f )f(2)2q...
x u 2 (p - -'; f ) lv(p 2 -q +A(x ) p /( — 2 P 2)"\ 11)
-- oo q2-p 2-22p2
parce que la premiere integrale du deuxieme membre de cette equation devient identique a la
suivante, lorsqu'on en renverse les limites. On peut rendre la derniere integrale plus simple, quand
on suppose x = (p2 -q2) (2 - 1), d'ou p2 q2 + = (p2- q2)z2, dx -(p2 - 2) 2 zdz,
tandis que pour les limites q2 -p2 et x de x on trouve respectivement z2 — 1 =1, d'oi z = 02
et z2 -- oo, d'oitl z ~ oo; done:
f(x + 2px+q ) dx = I 2 (p2 q2). f{ (p- 2) (- _ ) } d... (112)
-00 O0
Dans la dernie're on peut employer arbitrairement les deux limites superieures, pourvu que l'on fasse
usage en meme temps du signe correspondant comme coefficient; l'origine de ce signe sera claire,
lorsqu'on observe que dans l'equation de substitution
dx (p 2 - q ) zdz
/(p2 - -2 +x_) w:: { (p 2 -2) })
oui dx est toujours positif, il faut que dz ait le signe + ou - selon que z est toujours positif
ou toujours negatif, ce qui a lieu dans la formule (112).
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