Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. II. N~. 28.
superieur: cela donne lieu a croire, qu'ici il y aura quelque maximum ou minimum pour y,
mais 1'equation dy = 1 = (X- 4 4- p )I dx nous apprend qu'il n'y en a pas; done, on peut
employer les deux valeurs de y, et cela n'influencera que sur les limites, qui selon qu'on fait
usage du signe superieur ou du signe inferieur seront respectivement 0 et w, ou bien - oo et 0.
Dans le premier cas on a:
xd-00 co 2 ~00 9 dx
fif }2)dx lf( p2-2pq+$-)(d — j) dx =p 2XJf(p -2pq+ )dx+qJ 2x- x-2pq+j) x2.
co 0 0
q dp 1 pdy
Pour r6duire la derniere integrale definie faisons x =, donc — =-d.- --, et
py x2 x q
2 y2 '2 y 2
p2x2 -2pq+4- = 2 - 2-2pq+ 2: q-= - 2pq -p2 y2: leslimites de y seront
co et 0; de sorte qu'en renversant les limites cette inte'grale devient identique ' la precedente et
a de plus le meme coefficient: par consequent
' — 00 2
(x2) d = p. f (p2 - 2pq + 2)d....... (100)
En changeant le signe de x dans la derniere integrale, cc qui revient a prendre la seconde valeur
precedente de y, on obtient:
(x2) dx - 2p f p2 2p 2- dx. [29]...... (101)
-CO -0
La demi-somme des deux equations (100) et (101) nous donne:
2j /02 2 2 _+ )
f(x) dx p x2- pq+ dx........... (102)
— 00 -O0
On peut encore ecrire:
fJ (2)dx ff(X2)dx + f(2) d 2 f (x2) dx,
-oo -0o 0
lorsque, apres la division de la distance des limites, on suppose dans la premiere integrale x = -y;
car alors elle devient identique a la suivante: a lFaide de celle-ci la formule (100) donne:
o0 0
f ()d=p f (pv2 x2 2pq +K $ dx. [30]....... (103)
[29] SCHLOMILCH, Analytische Studien, Abth. I. Leipzig, ENGELMANN, 1848, (211. S. 8~.) S. 85.
[30] CAUCHY, Exercices de Mathematique. —Le mime, Journal de l'Ecole Polytechn., Cah. 19, p. 510. f. 25,
Page 115. 15*