Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 1METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. 1[. II. No. 25-27.

J xf(Sin. x, Cos.2x)dx =) d (Jr - X)f (Sin. x, Cos. 2 x) dx,
0 0
d'ou J Xf(Sin.x, Cos.2 x) dx = r f (Sin. x, Cos.2 ) dx. [26]...... (96)
On voit que la quantite algebrique, contenue dans ]a premiere integrale, ne se trouve plus dans
Fautre, et qu'ainsi la derniere est beaucoup plus simple.
py x 1 -p dy
26. Supposons x =, P = 1- x = - -d - d: alors aux
1+ -py 1 - 1- p'Y (1 '+ py)2
0 1
valeurs 0 et 1 de x correspondent les valeurs: py -1 ---- 0 et py - C_ co; done on
J 1 --- U 1 - 1
a la relation:
f[/\d^ _ (\^ \ _ _py pdy pp d7
( d it 1-f +py) (1-i py)2 y + 1py)2 [7] (9)
Cette equation peut servir a la transformation de la derniere integrale dans la premiere, dont
l'evaluation est toujours plus simple.
Quant a cette substitution comme a celles qui vont suivre, il ne faut pas perdre de vue la
remarque faite dans le N'. 25 de la premiere Partie, savoir que la recherche d'un maximum ou
d'un minimum de la nouvelle variable entre les limites de l'ancienne, est absolument necessaire, et
influence directement sur la marche a suivre. I1 s'en presentera dans la suite quelques exemples:
toutefois il est aise de voir qu'un tel cas n'a pas encore eu lieu dans les substitutions precedentes: aussi
nous abstiendrons-nous de la recherche mentionnee, lorsque l'inutilite en sera assez clairement visible.
2 dx
27. Soit dans l'integrale a transformer f(I p2 in.2 x) o(1 2 p U <
-dx dj/ /(1 _-p )2) m is.- 1 )
Cot. x Tang.y.Vl( —p2), d'o-. 2 =; mais.Sin^.2x =
Sin.2 COS. (o y 1 (1-_p2)Tang. 2y
Cos.2 (1 _p2 Sin. 2 y)-p2 Cos.y 1 p2
C --- - et 1 __p2 Sin.2 x - 2 Sin.' tandis que les
1 -p2 Sin y 1 p2 Sin.2 y 1 p2 Sin.2 y
limites de y seront - r et 0. Donc, en renversant les limites:
'JrP ' p / (1 — p2Sin. 2x) 1 l- _p2Sin. 2x) Cos. 2 1 -p2 Sin. x 1 —p2
J 1 -p2 Sin.2x V (1l-p2Sin.2 x)
[26] Cette formule a ete6 donnee a demontrer par WERNER, Grunerts Archiv, Bd. 24, S. 110.
[27] LEGENDRIE, Exercices, Partie 4, N'. 144.
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WIS- EN NATUURK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE, DEEL VIII.