Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. II. N~. 24, 25. TREORIE, PROPR1ETES, FORMULES DE TRANSFORMATION'

24. Dans l'integrale definie
f f(Sin. 2 x). Cos. x dx = f(Sin. 2 x). Cos. x dx + f(Sin. 2 x). Cos. x dx
0. 0
mettez dans la derniere integrale x - - y, dx - dy, Cos. x = Sin. y, Sin. 2 x = Sin. 2 g,
avec les limites - et 0 pour y; renversez les limites et substituez le resultat, alors:
f(Sin.2x). Cos.xdx= f(Sin.).Cos.xdx+ f (Sin.x).Sin.dx= f (Sin.2x(in$x+Cos.x)d.
o 'O 'O
MIettez dans la derniere integrale encore Sin. 2 x = Cos.2 y, 2 Cos. 2 x dx - 2 Sin.y. Cos. y dy;
mais Cos. 2 x _= 1/ (1 - Cos.4 y) = I/ (1 + COS.2 y) (1- Cos. = Sin. y. V (1 + Cos.2 y), et
(Sin..x + Cos. x)2 = 1 + Sin. 2 = 1 Cos.2 y, donc Sin. x + Cos. x = V (1 + Cos.2 y)
ensuite les limites de y seront: Cos.2 y = 0, done y - Vn; et Cos.2 y = 1, done y = 0. Par con2
sequent:
'o. oT
25. Lorsque dans 1'integrale tout-h-fait generale
a
If () C/1,
on met a —y au lieu de x, alors dx - dy et les limites de y sont a et 0: done
ff(x)dx = fa-x) (-dx) = f(a-rx)dx. [25]....... (95)
0 a 0
Cette equation si simple peut etre quelquefois d'une grande utilite. Par exemple dans le cas de
fonctions trigonometriques, quand a est un multiple de 7 nr: car alors, la fonction etant periodique,
il faut que a ait une telle valeur que f(a-x) est e6ale a f(x); des-lors cette equation pourra
offrir la reduction d'une integrale plus compliquee a une autre plus simple. En effet soit a r,
et f (x) = xf(Sin. x, Cos.2 x) alors f(a - x) == f(r - x) = (-r x)f {Sin. (r - x), Cos.2 ( - x)}
( — x ) f(Sin. x, Cos.2 x). La formule (95) devient done:
[24] BESGE, Journal de Liouville, T. 18, p. 112, 168. - GRUNErtT, Grunert's Archiv, Bd. 21. S. 359.
[25] Cambridge Mathematical Journal, T. 3, N. 16, p. 168, Nov. 1842. - GRUNERT, Grunert's Archiv,
Bd: 4, S. 113.
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