Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

11. II. N,. 17, TILORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
Sin. x dx T rang. x dx d.~ dtX
X x x Cot. 3 fx V (1-x)
Jv(os 2 x) - 2 ) =JFI'(Cos.2=3 ),e(X ) (1)
0 0 0
On voit que nous avons profite ici de la permission evidente d'crire, dans les N~. 14 et ]5,
par exemple F (0os.2 x), afin d'obtenir F (x2) dans le dernier membre de cette equation. Dans ce
numero donc, les substitutions faites, un tel changement n'est plus permis. De meme les equations (33) et (39) donnent:
dx (CO dx ~ 'IF' dx
(CCos 2 x) t - (COS.2 dx 2 i 2. (62)
x Sa. - X XSin. x.Cos. (X X2) 1/ l-x2 ' (
encore ]es equations (47) et (52):
co X Sin. x dx dx \/(1- x2)
I (Cos. 2 + -- = g r(2) -2. *............. (63)
o 0
F(CO.2x), (Sin.) P 2 g J (X2)., {l/ (1 2)} --.... (64)
o 0
puisque h = g2 - 1.
dx ldy
Pour Tang. x = y - =, dy, =,= avec 0 et oo pour limites de y, on a par
Cos.2" r1 X- y2
les equations (30), (32), (37):
IT Sin. xdx Tang. X dx dr d
JF (7an g. 2 X) ( = X (Ta. 2) _ - f (TrFang.2) () 1t=.(65)
x x,, Cot.IX +x J
Les 6quations (33) et (39) donnent:
zt dx ro~ dx 0 dxc
F (?'ang.2 x) -- (Tang.2 x) xSin. — = j f( 2) -;..... (66)
(Ta gax).x 66Sin..Cos.
o o0 oet (35) et (38):
(Tan. )- = F (Tang.) F.... (67)
(n )xTang.x [ (ay ' x Tang. x x (1 -- Xa) 2
encore (41):
F (Tang.2 x). F, (Tang.x< = ] (X2). F () * (68)
J0 x J&. (L * X )
0o
Pour les applications dans le N~. 15 on a a2 Cos.2.x+g2 Sin.'x=h2 + Sin. X=g2 —Cos.2
2 _ -g - g2 2 l- 1_ h2 - 92 y
g=^ - 77 += - y- - + g2; donc par les equations (44), (46), (48):
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