Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES.. I. NI. 16, 17.
et Sec.x deviennent l'unite pour la valeur zero de x, et la fonction F(Sin.2 ) devient F(0). On
a done par l'intermediaire des formules'citees (44), (45) et (46), puisque
d. Sin.2 x
2 Sin x..Cos. xdx = Siln. 2 x dx:
dx
Arfctang. ( rF(Sin.a). Sin. 2 x dx = - r0) + g! F(Sin. (5) 4)
o o
|Artag. Cos.. F (Si ) d -- F (o) + (t i (Si. ) d = ' +' (55). dv 2 h2 +2in.2 x
Arctang. dj. {Sec.x. F (Sin.2x)} dx - 2F (0). +Si 2.... (56)
*'o 0
0 2 hd N. 14, 152
17. Toutes les integrales des N. 14, 15 sont reduites a des integrales de fonctions trigronometriques seulement, prises entre les limites 0 et Trr. Rien n'est plus aise que de transformer
celles-ci en des ihtegrales algebriques, mais alors il arriverait souvent que des quantites irrationnelles les rendraient trop compliquees: en quelques cas pourtant les resultats sont assez simples
pour que nous les offrions ici comme exercices de calcul.
Pour Sin. x = y, Cos. ddxC = dy, dx = /( — avec les limites 0 et 1 de y, les equations (30), (:32), (37) donnent:
[O dSin.xdx c ) Tang. x ( I dx dx
F(Sin.2tr) = F (n. x FIF(Sin.2x) F(X (72))
a' "v / x } ' ' cIV CCot.rx I /{l-x2)
F (Sin2x) -- sS]. -— Sin, a'2.J- 2. ' (5 8)
O 0 0
et les quations q (45) et (5 1):
Cos.x dx kI dxV (I 22)
F(S., a) 2= IF ),...............(59)
(Sinr. 2 V) m- F (X 2 i~ill.?;r).zCot......- -..
oo 0
JF.S T(Sin.r. F X) (xo. F Cos. F ( x).F (60)
'0 O
'0O~~~~~~ y
Pour Cos. =y, - Sin. dx = ddy, dx -- -- d, avec les limites I et 0 pour y, les
equations (30), (32), (37) donnent:
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WIS- EN NATUUTJRK. VERII. DER KONINKL. AKADEMITE. DEEL VIII.