Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I N. 15, 16. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,

Si pour q,(x) au lieu de Cos. x, Sin., Tang. x, on prenait respectivement, (Cos.x), F, (Sin. x)9
F, (Tang. x), avec la condition de F, (y) — F, (y), es formules (45), (47) et (49) se changeraient dans les suivantes:
J 00 dx it I Cos. xdx
F (Sin2 x). F, (Cos. x) -- F (Sin.2 x). F,(Cos. x) h2 Sin2. (51)
p2, - x p h 2 + Sin.2 x?
(Si i (Sn.x dx Sin.xdx
F (& (Sin. x) -p,- (.- g F (Sin.2 x). F, (Sin. x) 2 + Sin.. (52)
o o
~x~ dx /'I7" Tang. x dx
(Sin.2 x. (Tang. x) x (Sin2 Z) (Tan. ) (53)
p2 +'x2 + Tang.2
0 0
Dans toutes ces formules les quantites auxiliaires gardent les valeurs, qui leur ont ete assignees
par les equations (a). Comme auparavant il faut observer, que F (Sin.2 x) pourvait tout aussi bien
etre remplacee par F (Cos.2 x), F (Tang.2 x), etc.
16. LJes formules (44), (45) et (46) se pretent aisement a la nmethode d'integration par parties, si
p dx
lon considere que -2 d. Arct. (-) En eftet, on a alors
p2 qx ' \x
p jPSdx \\co (Si 0/ z + cd.Sin^2x
({Smr^ ---- ^~- X (Sin.2x. dArctg. Lp } Aria X Si + Arct.gr. (S^. ---—,
p j+ \xj / j) pj dx
o0 0 0
p fF (Sin'x) o x d - -- C xos'xF(Sin'x'L'Arci - - Cos. ( x. Arct.. (Sin. x)} +
~~~~o ~o 0
+ jAdrct. (s). {Qos. x. (Sin. x)} dx,
(S1 inJG (0 rlc1ulu.2i) —^ -^ne iv)s ate Secer c.x..I(n.2^, C1S. AFX2X)l +
(Sin. Sec. 4- de [ i).d. Ag. — Se~.. Arctg. F (Sin.
+4 Arctg. - d.x {Sec. x. F (Sn.2 x)I} dx.
ou Arcig. (0), done nul iui-mime: les autres facteurs F (Sin.2 x), Cos. x, Sec. x, sont tout-a-fait
indetermines pour cette limite, mais on sait au moins, qu'ils ne peuvent devenir infinis; done
leur produit par le facteur premier, c'est-h-dire le terme eutier, est zero pour cette linmite. A
Fautre limite zero de x, le facteur Arcig. devient Arcfg. \ ou Arctg. ( o), 'est-a-dire, + "r
puisque ici il n'y a aucun doute sur Ie signe de cette limitc zero de x: les coefficients Cos. x
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