Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET IMETHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. II. N~. 14, 15.
les fonctions algebriques, oit il n'entre que des puissances impaires, la fonction change de signe
avec Pe1lement a.
11 va presque sans dire que dans ces foruules on pourrait nettre au lieu de ~(Sin.2 x)
tout aussi bien F (Cos. 2x), F (Tang.2 x),.. [15].
15. La meme me'thode peut servir 3 la reduction des deux autres integrales definies generales
re) p dv et r )c
o p da GO. x dx
f __ _ + et f($) -
'0 0
dans le cas, oiu f(x) est une fonction trigonometrique. En effet la meme division de la distance
des limites, et ensuite les memes substitutions pour la reduction des limites aux autres 0 a ^ n peuvent
s'effectuer ici: alors on voit aisement que le resultat en sera aupres de nos deux integrales:
nf (-?) L2 i {iP —f2d + -— f,- -- f (r - X) + f - (7r- + x) +
2 =J jt p +p p(2 -f p C + )2
o 0
P
p,2T + (2 - (2- ) * d f (t k + ) 2)2
0
J+ 2- (2 + 2 ( ~p2 2+ (-,.. x)2 f + - ) (+ + )
o 0
2 I ---T P
x dx 7r-X 7r + dx,
oi Lim. k = ooc. Encore si f (x) est une fonction purement trigonometrique, f ( k 7r +- ) reste
finie entre les limites 0 et Q (plus petit que {- z) de $a, si f () reste finie: mais le denominateur p2 + -( 7C+ —)2 devient an contraire infini avec k: done les deux integrales de correction
s'evanouissent aussi. Enfin prenons pour f(x) le produit de q (x') et F (Sin.2 a'), et nous aurons
les equations:
t tp (t)F (in.2$ P+ _ (Sin.' 2)d+v r (x) + -2 P
| (x). (Sin.2 x) = dF + fn (d -+ -) 2
p, +( 2 - p' + ( x * ^a(+ (,r —)+
0 o
tu (xr ])' (Sin.k2 X) x2 dve auctir i&n rr -— fini avec k: donc les deux inte'urales de correction
o O
F p2( + )+ ) + x(2-) +...... (43)
P p 2 +(2w2 T ()2 p- w-X)2
[15] Sur quelques-unes de ces formules voyez SCHTLMILCH, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 316.
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