Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

1L IIN. N. 14. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
IDe ces sept theoremes, les formules (29), (31) et (34) sont de moindre importance en ce
qu'elles contienlent au second membre des facteurs trinimes algebriques: les autres sont corn
posees tout-a-fait de fonctions trigonometriques. Les equations (33) et (35) peuvent 8tre combinees
par addition et soustraction, lorsqu'on se souvient que d'un cote Cosec. x + Cot. o. I 'x
Cosec. x - Cot. = Tang.. x, et que d'un autre c6te
I 1 1 i 1 1 Sin.S 2 x
jt (1 S Co.2 )-, ( - Cos IS.2)d....... (37
De mrnee la difference des formules (33) et (30), ainsi que la somme des autres (32) et (35),
' Ty. 2 x n. 1- Sin.2 x Cos.2 x Sin.C
clonIne, puisque, - Sin. S. =x Sin. x - Tang..x + Cot. x 2 Cosec. 2-
1 1 1 - Sina.2 Cos.2 x.
Cot 1 + Cot2 z) F (SiCosec.2
x Tang. x Sin. 2 x
F (Sin.F. (Sin.2 )......... (39)
o0 o
Par a comparaison de toutes ces equations (29) jusq' a (39) on s'aper.oit que les integrales definies generales, se trouvant dans les formules (30), (32) et (37), out la meme valeur, de
reme quoe cellrece des formules (33) et (39) et encore cell a somme des utrequatio s (3 ) et (38).
Soit encore () E (Si., de telle nature que y) - 1 (y)O alors le mee
rasonne, pent qui ous a conduit a forule (30), donnera encore: ose
Sin. x Sin. x Tang. dx
1 1 1 - Sin.2 x CoS.2 x
------ —: - = ot.z, 1- Cot.2 x 2 Cosed.' x'
i,. x. Cos. Sin.2 x F1 SSin. )- (Si ).F (Sinx)........t. (40) i
Et soit q x) = F (iTang,. ) de a miie, nature qu( la fonction 1) prci.dente; lorsqu.on
Par la comparaison de toutes ces obtenir quationns (29) jusqu' ' (39) l'on s'aperoit ue les int-ici:
grales dfi(ies genral(es, se trouvTla ns les formules (30), (32) et (7), onat la mm)e valeur, de
meme que celles des formules (33) et (39) et encore celles des equations (35) et (38).
o o
Et soit r (x)- - = F, (Tang. x), de la mlme nature que ia forteon F, prdcddente; lorslmu'on
raisonne de ta mqme maniare qu'on l'a fait pour obtenir I':quation (82), on aura iciF (,Sin. x).F, (Sin.x) (Sin. 2 x). F 1 (Sin. x) T a ng. ' (4
La oinction F1 est ici cc que lon nomme une fonction impaire; c'est —adire que, tout comme
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