Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

I 1I. N~. 13 '14. THEORAIE, PROPRIETES, FORMUPIES DE TRANSFORMIATION,
Soit maintenant; f (x) le produit de deux auf'es fonctions, telles que Fun des facteurs ne change
pas par la substitution de a -~ x au lieu de x: par exemple f (x) _ (a). F (Sin.2 x}) on
F (Sin.2 {a { =i x) =- F (f{~ Stzi.} 2) -= (SiZ.t'2 ), ce qui satisfait a la condition: alors
cette cquation peut s'ecrire:
2 i S da f T((p () q (___ -- T) (w f+ x) (2 r -.X
] (w()F (S.x) f (4,Si, 2')dx --- + + -2 +
I — x — + - X
0, 0
+ f (- k- je+i) In. A.. o.... * * (28*)
0
ELwrsquc cp (x) est une illoction trigonomretrique, alors f(. - +ae) est une fonction de meme
nature, qui reste fiiie avec f(x) entre l los limites 0 et, (plus petit que |- d) de -l le d6nomi5_atcur k, ^-xv an contraire devielt infini pour Ia limite, l'ilfini, de x: par consequence cette
derniere intgtale defilie s'dvanouit necessairemnenit pour cette limite de k; et l'on a enfin, avec
ley determinations precedent:es:
/ ( i (- L 2 ( (X ) I +. +-) +.! <p(^).F(6%^o2 ') — I ^ cc (V \5L- 4~ — - ----,*- -- + cf 4 \2
I.] t o ~ ~,.-. x + x 2 - -- x
0
14. Des suppositions spciales quant a a foirme de tp (x\, qui doit etre trigonomttrique,
couwm0 on a dU Ie supposer, nous permettront de reduire la serie infinie dans le dernier nembre do
cette equation a une quantite finie.
oit ( Cr) '- 1]; alors la serie + -- + 1 + C., X [1
( ha (t2 — nc 2 —c2 j - - x- r- - * -
(Sfi. y)- F (Sin.2 ) - -G. c.. [: \ ),.)
o 0 f ' \ ^2 2o
Soit q (') S-ib S a, alors q (x) X p( cr.-.v) + x) (p t- ^ (-j ^ i ) ( ) + X)
et la serie S'i. x......1 -1 -. S 1 [13]
Xt s -- X 7 + 2 X - 2 T t Si?
( FSi dx........... (0)
0[12 SciiLoci, Handbud der algebr n Anals, u Ja P, 1, 8 (344
S, 281. La formule (2) foarnit apres une legter reduction celle dont nous avons besoin iCio
[13] SCHLnnILCH, ibid. S. 282. Form. (8).
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