Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET 1MTHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. N. 12, 1 5

Mais pourtant une telle formule peut nous faire approcher de cc but: soit qu'en verite pour
une valeur speciale d'une constante, ou que pour une certaine forme donne'e de la fonction generale, l'integration dans ce second membre puisse avoir lieu; soit que cette integrale definie se
distingue par une plus grande simplicite, par l'absence d'une fonction, qui incommode le calcul
lors de 'evaluation, ou enfin de quelque autre maniere.
13. La discussion relative a des integrales definies de fonctions trigonom'triques, prises entre
les limites 0 et oc, donne lieu a la- simplification suivante, qui a pour fondement la me'thode, oui
l'on divise la distance des limites en plusieurs parties. Dans le cas actuel, les fonctions trigonometriques intiment une division suivant les multiples de 2 r: supposons done, pour garder a
2
Pinfini toute sa generalite, que o = Lim. (k.- + -7 ~ Lim.k = c, e<-: ainsi pourtant la
fonction k. 7r + Q, oit k est un nombre entier, designe un nombre tout-a-fait arbitraire. A present
nous pouvolns prendre -n pour la distance des limites successives des integrales d6finies partielles:
i1 en resultera I'equation identique:
dx [^ dx dx da (rdX [lkr dx f-(IPIV dt
=- I f x) + A) ()+ x)-+... +v )- ff + -+ f) -J
0 ~ 25 (a2)0 ((k-1). -+hT7
ou Timn. k -- o. Maintenant on peut transformer toutes ces integrales d6finies partielles, de teile
sorte que lenus limites coincident avec celles de la premiere integrale dans le second membre
de i'equation prceidente; c'est-a-dire qu'elles deviennent 0 et - r. A cet efiet, dans une integrale
~ar' dx
definie de la forme f(.xr)-, il faut faire x = a r- y, done dx dy, avec les limites
1 etot" dx,. 1
- r et 0 pour y; et pour f (V) - il faut faire x c= a + y, dx -= dy, avec 0 et -2
au7
2, Tr
les menes liilites, sous unll mnefe signe d'itelTration, nous aurons pour 1'Oquation precedelnte:
f30 d, ( dz f~ ~d@.(1 d..v j~ -d dx *P- s
-j f iX- "-+ ) Z h ),- ---- I -i+ f e.T=.t __ A _n_+
j x j' d zx '0 t-'x ji j-r1 j ) +j.i.X) + j+ ] r ) k+ Ix L
w —x.0'- J:2
(^ dx cdx (' dxr 2 dx fP dx
j x j nx s n+{-x x kT-r + xcT j
00 0 '0 0
r ((,) f(- ) - f(, + (4-) f - dx
I c a+;- _ 4 - t f (2 t +), Iim k +l}oo] w.
j t Z -x n:y- * n —x kI j i J'* r +n 2x
0
Pa ge 97. 18
14IS- EN NATUURK. VEtH. tDER KONINKL. AKADEMIIE. DEEL VIII.