Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I, II.N~. 11, 12. THEORIE, PROPRIETAS, FORMULES DE TRANSFORIATION,

11. Voici encore un theoreme, qui pent souvent nous servir a decider aupres des integrales
definies, contenant des Logarithmes au denominateur, si la valeur en est assignable ou non. Soit f (x)
une fonction, qui se laisse developper en serie selon les puissances de x: done
f (x) = A a - B xb + Cc +...
ou A,B,C,... a,b,c,... sont des quantites tout-a-fait arbitraires, les dernieres seulement positives. Alors on aura identiquement:
f(X) 1 x
SIt x f +C I A (x - l) + A -t fS (,-l ) + B C: (2 +.. ~.
Nous avons change le numerateur a dessein, afin de pouvoir en separer diverses integrales de
1 ar,' -1
la forme J ---- dx, dont la valeur est 1(1 — p), ainsi qu'on e deduit P. III, Meth. 10, N0. 5,
o lx
Cette remarque nous donne done:
J x $ fA~B+C~ d + A Al A + a) + B (1+ + b) +C(1 -c)+...
o 'o
00
Attendu que la premiere integrale defiuie est infinie, cette equation nous apprend peu, a moins
qu'on n'ait la relation A -t B +- C -... = 0: car alors cette integrale acquiert un coefficient nul
et s'evanouit par consequence. Or, cette equation de condition ne dit autre chose que celle-ci; il
faut que la fonction f (z) ait un facteur x - 1, ou mieux encore, que cette fonction s'evanouisse
pour la valeur F'unite de x. Pans cc cas 'e'quation precedente devient:
f (xr) - A I (1 + a) -t B 1 (1 - b) +- C I (1 + c) +. [1.(27)
'o
CHAPITRE DEUXIEME.
REDUCTION D ' UE INTEGRALE DEFINIE GENERALE A UNE AUTRE FONCTION
DE CE GENRE.
12. Dans le chapitre precedent on trouve toujours le resultat de 1'analyse tout-a-fait depourvu
d'integrales definies, et cela en general, parce que ces integrales acqueraient des coefficients nuls,
et s'evanouissaient ensuite. Mais il n'en est pas toujours ainsi: dans la plupart des cas les raisonnements, analogues a ceux du chapitre mentionne, auront pour resultat uine equation, qui
contient dans son second membre aussi une ou plusieurs integrales definies, et qui par consequent
ne nous mene pas directement au but que nous nous proposions en genperal: celui de trouver la
valeur evaluee d'une integrale definie.
[11] EULER, Institutiones Calculi Integralis, IV Vol. Petrop. 1792-1794. 4~. Vol. 4. S. 5. ~ 27.
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