Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

Il. I. N~. 9. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
lorsqu'on ramene les deux fractions an denominateur commun (- -yi) (- + yi) == - y2 et
que l'on separe la partie imaginaire de la partie reelle. Maintenant passons a la limite zero de
3: alors on a en premier lieu:
f(q- +yi) f(q + +yi) =f(q+yi);
parce que d'apres la supposition f('+y i) doit rester finie et continue. Done la derniere integrale
sevanouit ot l'on a:
A= - 2 Lim. -y f f (q Yi), Lim 8 - O.,
Mais il s'ensuit encore de la continuite supposee de f(x y i) queo
f(q +- i) f/(q) + yif ( + 8 yi), 0 < i
done::= — Lim. y2(q) j+ 2 y2t2 + y i+, Lim. = y20
-S -g
La derniere integrale est necessairement finie, puisque f(q - 0 y i) reste continue; par suite elie
s'evanouit a cause de son coefficient 6. Quant a la premiere integrale definie, on a:
f 8 dy y f - \
- d. Arctang.- = Arctan g. — Arctang. = -
b2 84- y2 f - ~ v8 g. )
done:
-2-f(q) f + 0r = - 2 7f(q),
c est-adire:
f - / c (, ) 2 ).................. (1)
J q-yi
Combinons les equations trouvees (17) et (18) par voie d'addition et de soustraction:
f (Y y) f (...... 2.... ( )
of (y i) - *f(q)......... (20)
— 00
Divisons encore la distance des limites - h3 oo de ces integrales defilies en deux parties,
savoir de - xc ( 0 et de 0 'a c, nous obtenons:
JO(y dy,.f(Y d+ y= +/y ) f(
f () / J'i) ) y + f (y ) y -flly
lirnit2 + t2 q ff +Y y+ 2 Jo q 2 y + 2 v = f()
-oG O - ~s O
Dans les premieres integrales de ces equations changeons y en -- x, par consequent dy - cdx
avec les limites x et 0 pour x; alors:
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