Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET ~IETHODES D'EVALUATION DES INTItGRALES DEFINIES.

1I. I. N"' 8, 9.

CIos.a-'1 Cos. (a + 1) }.f() dx== - Ba, out a est un nombre entier;.. (16)
o
pourvu que la fonction f (z) permette deux developpements, et que lon ait simultanement:
0
( 0) - A Cos. n x
tf f(X) = 7- n ----B/ [8]
o (2 Cos. X)n
9. Souvenons-nous encore de la formule (114, P. I)
co r-s
Sous les conditions '(zx +4 oo i) = 0, (x - o i) = 0, I(co + y i) -= 0, pour 0 < x < c,
-- o <y < c, cette valeur de A a lieu lorsque F(x + y i) devient discontinue pour les
valeurs x = c, y = r; en cas de continuite A a une valeur nulle.
Lorsque nous substituons dans cette formule en premier lieu F (y) == y, il faut que f (x+yi)
soit une fonction qui reste finie et continue entre les limites respectives 0 et cc de x, - c et o de y.
Dans cette supposition on a naturellement:
f ( x t oo0 i) f(x- c i i f( +~ y i)
(x-1- c i) =-= o, 0 r( -o i) = =, r(oo +yi) =o
q -t+(+ 0 i) +( oo ) q+(00 +yi)
de sorte que les conditions se trouvelt satisfaites: puisqu'il n'y a ici aucune discontinuite, 1a
correction A est nulle et l'on a:
f-j-Yi o dy =.................... ( 7)
- 00
Substituons ensuite F (y) — f ) avec les memes conditions pour f (x +y i) que plus haut; les
conditions exigees au commencement de ce Numero seront encore verifiees, et l'on peut employer
le theoreme. Mais ici il y a un cas de discontinuite pour la fonction F' (x-+yi) = f( -i) c'est-adire pour les valeurs simultanlees x = q et y = 0: on a done ici:
+ ( - + yi) J — (y + i) + ) f (/ + $ + Yi)
A=- " l9(q-a+i) q —(q '- 6+yi) _ + S -y + yi
O-Z -E
= -9y2 [f (q-S+yi)+f(q+6+ Y s + i i - V [f(q +Yi)-f(q +S +Yi)T
[8] KUMMER, Journal von Crelle, Bd. 17, S. 210.
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