Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I. N~. 8. Tt1EORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
LIinspection de cette derniere serie donne pour la serie Bk, qui est le coefficient du terme gle6rat
Cos k x: ( Cos. )k:
1 +21. 3. +. 3.5k+ 4. +k + 5 +1.3.5. 7 + 5. -t 6. + 7
Bc — A + - A2 T + --— A3+ 6 -A,+.
2 2. 4 3 2. 4. 4. 5 2. 4. 6.8 5. 6. 7
1 li/2 (k + n + l)n-1/1 c in l 2(-, + i -1)-I o 1 n/2 (ki- n +l )n-/11
)n2 n An1 -__ All
122 (n - l)n-11 n 1 2 (n l)-i 2n- 12n-1/1
-- ((k + n + 1)n-1/1 oo (k — n + 1)n-1/
1 2n 2n-1/2 An 22n -1 ln —/l A
par la reduction successive, facile d'ailleurs, des facultes numeriques.
Tachous a present de transformer cette sommation en integrale definie: a cet effet nous ferons
usage de l'integrale definie, qui se trouve evaluee P. IIT, Meth. 23, N~. 24:
J^T 2~T'~r (p) c2n 1
c (x) Cos.P- x. Cos. q x dx + )2 (p C
2P1 P+q+l P l - 1 a Cjl
22
C
ou c (x) = 2 Ci Cosn x. Faisonsp = -k+2, q = k+S, alorsp+q+l = 2k+4, p —q-1 = 2;
o
de sorte que cette int6grale devient ici:
7- r F (k + 2) c (k - 2)2n/l
(Cp (X) Cs.k-+1 Z COS. {(+ 1) x} dx =- +2) C+
| "J j u l 2k+2Pr(k + 2) r(I) o (2 k +4)n12 2n/2
w C (nk+2)2n/1 C= 1 C (1c t4n.2)n l 7= c+tl(k+n~1)z —111^
2k+2 0 2n (k-+ -2)n1 2 2 n 2k+1 0 22n+ 22l+1 n/1 -I 2 2n — 1 /1 i- -
oi l'on a reduit successivement les facultes numeriques. La comparaison de cette sommation avec
celle, qui se trouve dans la valeur du coefficient Bk, nous apprend qu'elles sont identiques a lFindice
pres des constantes A et C, qui est n aupres de An, et n - 1 aupres de Cn_1: ou en ld'autres
mots, que pour avoir ici A, au lieu de Czn-, il faut faire,p (x) = Al + A2 Cos.2 x + A3 Cos. x +... () -- A
COS.2 Cos
11 s'ensuit done que
2k+l.... I f(x)-A
Bk Cos.k+,. Cos. {( + 1).} ) CO2
o f Cos. 2 x
0
2k-f-1 r 2k+Il r1
-- | Cos.C-1 x. Co. {(k + 1) x}./f() dx - A o Cos.k-. Cos. {(k + 1) x} dx.
n o o
D'apres P. UIT, Me6th. 14, N'. 8 la derniere integrale definie a une valeur nulle: donc on a entin
le theoreme suivant:
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