Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MEITHODES D9EVALUATION DES INTEGRALES DEF1NIES.

II. I. YN. 7, 8

Ces dernieres formules sont un pen plus ge6nerales que celles da Nume'ro precedent, en ce qu'elles
se reduisent aisement a celles-la, lorsqu'on prend l'unite pour la valeur de p. 11 est bon de remarquer, que dans les discussions la valeur de c n'a eu aucune influence: de sorte que la valeur en peut
etre infinie, c'est-a-dire que les developpements peuvent etre des series infinies.
8. Lorsqu'une fonction peut etre developpee selon les puissances paires de Cos. x, et que l'on a
C
f(x) = Ao +- A, Cos.2 x + A2 Cos. x + A3 Cos.6 x +i... — A Cos.2nx,
o
on peut transformer cette serie dans une serie double, en faisant usage d'une formule de
AM. KIUMMErR [7]:
1~12 o2 2 jl1l Cos. n x
Cos.21 x --- 2, 2J/ Cos —,
2/2 0 (I + 1)n/ (2 (Cos. x)1
Cos. n x
Cette serie double pourra ensuite se reduire a une autre suivant les coefficients de Cos. ^ n trouve:
A )= Ao
I 2 Cos.x 2.3 Cos.2 x 2.3.4 Cos.3x 2.3.4.5 Cos 4x \
+ A + os.x 2.3 (2 Cos.) 2 2.3. (2 Cos.x) 3 2.3.. 5 (2 Cos.) +
2 ~~z C08.X 2.3 + 2.3. 4 S.X)~

+ 2.4 2
1.3.5 /
+ A3 1
2.4.6
1.3.5.7 (
+ 2.4.6.8A, \

4 Cos. x 4.5 Cos. 2 4.5.6 Cos. 3x 4.5.6.7 Cos. 4x
+ 3 2 Cos.x 3.4. (2 Coos.)23 3.4.5.6 (2 Cosx) 3.4 6 (.
6 Cos.x 6.7 Cos.2x 6.7.8 Cos.3 S 6.7.8.9 Cos. 4
4 2Cos.+ 4a.5 (2(Cos.)2 + 4.5.6 (2Cos.x)3 4.5.6.7 (2Cos..) "'
8 Cos. x 8.9 Cos. 2x 8.9.10 Cos. 3 8.9.10.11 Cos.4A \
5 (2Cos.x3 5.6 (2Cosx) 5.6.7 (2Cos. 5.6.7.8 (2Cos)4

- A -+
Cos. x
2 Cos. x

-A,+
2

1.3
-.A -+
2.4

1.3.5
- 3 +
2.4.6

1.3.5.7
1.3..7A ~ - 4...
2.4.6.8

(12
2 2

1.3 4
2.4 3
1.3 4.5
A 2.4 34
8,4~3~

1.3.5 6
2.4.6 4_
1.3.5 6.7
A 2.4.6 4.5

1.3.5.7 8
A3 1 -
2.4.6.8 5
1.3.5.7 8.9
3 + 2.4.6.8 5.6

A, +.)

Cos.o2 x 1 2.3
(2 Cosa,)2 X\2 2.3

Cos.3x 1 2.3.4 1.3 4.5.6
-+ (2C_ 2 2-. A1 -F- ' A,
(2Cos.X)3\2 2.3.4 '.4 3.4.5

1.3.5 6.7.88 1.3.5.7 8.9.10
2.4.6 4.5.6 2.4.6.8 5.6.7

Cos. 4 1 2.3.4.5
(2 Cos. x)4 2.3.4.5 A

1.3 4. 5.6.7 1.3.5 6.7.8.9 1.3.5.7 8.9.10.11
+ 2. 3.46 A2 + 2.6 4 7 A3 + 2.4..S 5.6.7.S +
2.4 3.4.5.6 2.4.6 4.5.6.7 2.4.6.8 5.6.7.

[7 r, Jonal on C, B. 5,. 161,:Form. (3).
Pa] KUMMER, Journal von Crelle, Bd. 15, S. 161, Form. ().
Page 91.

12*