Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. I. N~. 5, 6.
f(Cos.. exi) + (Cos.. e-xi)} dx [4]......... (9)
6. Les deux fonctions f, (x) et f2 (x), qui sont de'veloppables, l'une suivant les Cosinus,
l'autre suivant les Sinus des multiples de x,
c c
f, (x) = A + z A, Cos.n,, /- (x) Bn Sin. n,
1 1
peuvent etre employees ici en vertu du raisonnement suivant. On a identiquement d'apres la
supposition:
fT C7P C [T
(x) Cos. axdx = Ao J Cos. a xdx + An Cos. nx. Cos. ax dx,..... (C)
0 0 0
C 1
f2 (x) Sin. a x dx z==. Bn Sin.n x. Sin. a x dx.
o o
Mais on trouve, P. III, Me'th. 2, N~. 15 que la valeur de ces integrales definies est:
7rX 1
JCos nx.Cos. a x dx ==, ou -7;
' o
selon que n est a a, ou que n = a.
Sin. nx. Sin. adx d - 0, ou 7;
O 1
Ainsi tous les termes des deux sommations s'evanouissent, outre ceux oiN l'on aurait n = a: de
neme l'integrale, qui a Ao pour coefficient, s'annule aussi. Donc on a enfin:
---- (r Co0x xaA;............................e(10)
/ (x) Cos. ax dx - A....................... (10)
o~ r~ '~~ ) "; ou a est un nombre entier [5].
| () Sin. a dx== Ba........................ (11)
'0 1'1
o /
11 y a encore un cas d'exception: c'est celui oi a est zero: alors la seconde des integrales citees
devient identiquement nulle, et par suite aussi la formule (11). Cos. ax au contraire devient
I'Fuite, et pour n - a =- 0, Cos. n x est aussi egal a l'unite; done tous les termes de la sommation dans 1'6quation (a) s'evanouissent, mais le premier terme an contraire devient:
Ao Cos.axdx = Ao dx A0o;
o o
[4] SERRET, Journal de Liouville, T. 8, p. 489.
[5] SCHLO6nILCH, Beitraige zur Theorie bestimmter Integrale. Jena, FROMMANN, 1843. 4~. (103 S.)
II. S. 31.
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WIS- EN NATUUJRK. VERH. DER KONINKL. AKADEMIE. DEEL V1II.