Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I. N~. 4, 5. THEORIE, PROPRIITES, FORaULES DE TRANSFORMATION,
Ainsi l'on obtient d'apres l'6quation (a):
f2T da.I
f(a) (pexi) dx 2= d - f(a) (0);
o
et lorsqu'on integre celle-ci a fois de suite par rapport a p:
pa
I = f (pexi)e id = f(a)(0) E; i.*...... (7)
fo
lorsque f(p e'i) f (pe~O) f- (p), et que cette fonction f(p exi), ainsi que les a premieres derive'es,
ne devient pas infinie entre les limites 0 et 2 T de x et certaines limites de p: observons toutefois que celles-ci doivent contenir la valeur zero de p, puisque autrement la maniere dont nous
avons determine la constante C ne serait plus legale.
5. On trouve P. III, Meth. 37, N. 12 l'integrale d6finie:
j'f (Cos. x. exi)P + (Cos.. e-xi)P d T q
f ^Cos.2 X + q2 Sin 2. x q q +1i/
0
Elle donne lieu a une application tres-simple: car soit f(x) une fonction, qui peut se dlevelopper
selon les puissances de x, savoir
f () = An,n
1
prenons successivement pour x: Cos. x. exi et Cos. x. e-xi; et pour p successivement les nombres
entiers de 1 a c: multiplions chaque int6grale par la valeur correspondante de An: et nous aurons
par l'addition de tous ces resultats:
fE 9 dx C div c cx c I
J 7- "qI 7.2 2, -;An(0Cos. X.ei)1+ z q-An,(Cos.7..- )n - A 4 I )
Cos. 2xq2SZin.,x Cos.2x+q2- 2n. x q I -1l
o o0
Mais les sommations dans la premiere et dans la seconde integrale du premier membre de cette
equation ne sont autre chose que f (Cos. x. exi) etf (Cos, x. e-xi) respectivement: ainsi l'on pourra de
nouveau mettre les deux fonctions sous un meme signe d'integration. De plus, la sommation alans
le second membre de notre equation est aussi / ( - ); ainsi l'o obtient:
rf (Cos.. ei) +f(Cos. x e-xi)
fJ Cos." 2+ q2 Sin.2 x q q+
formule, qui pour la valeur 1 de q se reduit a
[3] LAMARLE, Journal de Liouville, T. 11, p. 129. - DIENGER, Grunert's Archiv, Bd. 15, S. 11.9
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