Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET METHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES, [I. I N0. 4.
et par suite:
da.I 27 r^
d c | f_ Xa) (p ex) eaxie-a axi d = (a)( e) dt... (c.)
0 0
On a suppose tacitement qu' enitre les limites 0 et 2 T de x et des limites quelconques de p lies
a quotients differentiels successifs de f (p exi) ne deviennent pas infinis. Separons dans la fonction
f(pexi) la partie imaginaire, et soit f(pexi) == (p, )+i' (p,x); alors on obtient:
fa),p ~ ".da.f (p exi) fdaC., (p, X) da. X(p, )
a) exi) e-axz -dp dpedp~a dpa dpdpa
( d^d. q(p,X) d..xfp^). daX(2^}) -, c.W(p7 X)|
- Cos.a ----- +av Sin, a x -- +i Cos. a - ~ Sn. a*x -g \
\ dp0. a x d pa d i. d pa d? j
= e(p,x) + i (p,x).
Supposons encore que la fonction (p exi) acquiere les memes valeurs pour les valeurs zero et 2 r
de;', c'est-h-dire, qu'elle soit periodique; alors la rneme chose arrivera aupres des fonctions q: (p, aX)
et X (p,x) et meme aupres des autres ^ (p, x) et X (p, x), donec aussi aupres de,f() (pei). A present on a:
da d.p exi
f(, (p ex) = f-a+ I) (p e) -a-' f l (p exi) pi ex;
dx dx
done aussi par l'integration par rapport a x entre les limites 0 et 2 ni
J2 2d ' d 2r
p i exi f(a+-l) (p exi) dx a) (p exi) dx =- (a) p xi)
IP I X f a) (p exdx )dx e
o o
c'est-a-dire prise de 0 a 2 ': mais d'apres la supposition que les valeurs de cette fonction sont
egales pour ces deux limites, le second membre de cette equation s'annule. En outre puisque
d, d. p exi
f(a) (p ex) == f(a+ ]) (p exi) p exif(a+1) (p exij
d, p o!dp
I'equation precedente prend la forme:
J2f d. d. 2?
0 = dx f(a) (p exi) - J fa) (p ex) dx,v
d p d p
0 0
comme il resulte de la formule (59, P. I). Des-lors il s'ensuit que l'integrale
r27
J f(a) (p exi)dx - Constante par rapport a p = C.
0
Pour la determiner, soit p = 0: alors il vient.
r2r r27r
C f(a) (0) d f(a)(0) dx = 2 rf(a) (0).
)Pae
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