Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I. N.5, 4.

TIlEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION.

Mais on a:
coc 0[ n ro 1
(ax ) e-Yax dx = e —/x dx An Cos. n a x = An e-Ya Cos. nax = a A 2 2 — 2
o nj ao q- y"'
o 0 0
lorsqu'on substitue la valeur de l'inttgrale d6finie o, trouv. II, Me'th. L, N. 11. Done on a aussi:
u s ded so fn ry n ydy yy
]{f(pa)-f(q)}-=z dy,/An ~ -.A, =-A -o- t2x } [. (,
o 2 2 2 22 -ii2 2 2 1! ArX' | o 2-2 o3 P+Y2 0 n q - o n Pp 22 r -r j
o3 0 0
n fi n 2P 12 + 1 2
=Z. A Al(? - d 1,p2 p2 +y2) — d. l(n2 2 + 2) = An 2 2
1- -~ b o~- I 122 - 2 - l -1 An 6 '
2 o I 0+1 2 2 J 2 o ^222
iNous y avons effectue l'integration d'apres la formule (6, P. I), et nous y avons garde a dessein
le coefficient n2 dans le nume'rateur et dans le de'nominateur sous le Logarithine, afin de faire voir
que dans le premier terme de la serie pour la valeur zero de n, on aura le logarithme de l'unite,
c'est-a-dire que ce terme deviendra zero lui-m6me: ainsi l'on pourra commencer la sommation avec
la valeur unite de n, et oter des-lors les facteurs n2 sous le Logarithmoe, qui par suite sortira
du signe de sommation. On aura ainsi:
[f(P$)p-2 f } - - 1 GA A - (O)L{/( -Ao}; [2]...... (6)
n Na X 2 2 - Ppuisque (0) n'est autre chose, d'apres la supposition, que
A0o + AI + A, +... - An - = An t Ao.
0 1
1 faut done pour la validite du resultat (6) que la fonction f (x) puisse se developper coinmme iI
a ete suppose: mais on verra sans peine que le raisonnement ne change pas, que ce developpement
soil une serie finie ou infinie.
4. Appliquons maintenant la methode de differentiation successive sous le signe d'integration
r2
definie, d'apres.'equation (59, P. I), a l'integrale definie generale I = f(p exi) e- axdx, ou a
0
soit un nombre entier quelconque. Differentions a fois a 'e'gard de p, et designons Peffet de cette
operation sur la fonction f(y) par la notation connue f(a)(y), de sorte que:
dcaf(p exi) da. f(p ex) (d. p exi\ a
dpa (d.pexi) ( dp f(a)( exi) ( ti)c
[2] SCIHLOMILCH, Grunert's Archiv, Bd. 5, S. 152.
Page 86.