Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

ET MTIHODES D'EVALUATION DES INTEGRALES DEFINIES. II. I. N~. 2, 5.
1. d — @ -dy 1 ____
on introduit la meme substitution de x —, on a ici:.1 — qy 1+t2 2 2 1 q-y 2
done tout comnme plus haut:
f0 x- ) (d + -r dx 1& dx,
fJ(k + x — 1 -- f (V(P + X-P) +]f-+ (P+ )l-.. (2)
o 0 0
1 l- 2 1x
par le meme raisonnement et sous la meme restriction que l'equation (1).
Lorsque dans les equations (1) et (2) on fait x = e-Y, I = y, -- dy, avec les
limites - co et o de y, elles deviennent:
f (ePx + e-px) xdx d 0=.,.................... (3)
-00
Jf (ePx + e-P).................... 4)
-- d
Dans Plequation (2) on peut faire x = Tang. y, done d- — _ _: Sec.2y = ldy; alors
1+ X2 Cos.2 y
les limites de y seront 0 et -, et l'on obtient:
2
0
f (Tang.P) +-CctOPX) Tang. v dx' = 0. Ot*.. (5)
3. Soit dans une integrale definie
'00 d
f/O{f (P*) - (qx)}
0
la fonction f (z) tellemoent constituee, qu'on peut la de'velopper dans une serie suivant les Cosinus
des multiples de x, c'est-8-dire:
n
f(~) = Ao + A, Cos. +A ~ Cos.. 2. = A Cos. n,
0
serie, qui reste convergente pour toute valeur de x entre 0 et oo,- on peut alors en trouver
la valeur de la maniere suivante. On deduira P. III Meth. 1, N~. 9 que- = e-Y dy, done on
0
pourra ecrire au lieu de l'integrale en question l'integrale double:
{f(px)-f(qx)} dx e-Ydy=dy {f(p)f(x)) e- d dy px)e-yxdx- - f(qx)e-yxdx}
oi le changement dans F'ordre des integrations est legitime, d'apres la supposition a l'egard de
la fonction f (x).
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