Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

II. I. N~. 2. THEORIE, PROPRIETES, FORMULES DE TRANSFORMATION,
CHAPITRE PREMIER.
EVALUATION D'UNE INTEGRALE DEFINIE GENERALE.
2. Commencons par une application de la formule (18) de la premiere Partie. Elle nous
apprend a diviser la distance des limites d'une integrale definie en plusieurs parties, qui seront
les limites d'autant d'integrales definies nouvelles, aupres desquelles la fonction integree ne subit
aucun cliangement. Ainsi nous avons la formule:
r0 dxxd ( d dx
( f ( + X-P) I — = (xP + W-P) 1 x + + f ( + X-P) 1 x -
X, [ X
0 0 1
1 dx — dy 1 -- dy
Dans la derniere integrale faisons x -, done - -: - tandis que les limites
y x y' y y
pour y deviennent 1 et 0; alors nous avons:
r/+0o^ dx 1 dyf_ 1 dy
Jf(xP 4- x-P) lx = f (+ p) t l (y 1 -P)-l
1 1 o
d'apres lequation (P. T, 24) *). Done aussi par la substitution de cette valeur:
dx dx [ dx +I
(VP +f -P}) 1$, = f (P +x-P') IX- - / (fxP+ x-P) I -- (.fI-P+x-P) (1 + l1) d'
- ~ X I I7X x
0o O o o
= o; E1i............................(1)
d'abord puisque nous avons employe la formule (16, P. I) et ensuite parce que lx + - est identiquement zero. Toutefois il faut observer que cette division de la distance des limites, ou plutot, que le
changement de la variable dans une des integrales partielles n'est plus permis, lorsque celles-ci seraient
Ix
toutes deux infinies: done la fonction integree f (x P + x-P) ne doit pas devenir infinie pour la
valeur l'unite' de x, c'est-a-dire que la fonction f(xP +- xP) 1 x doit satisfaire a cette condition.
Lorsque dans l'integrale peu diff6rente
]c IfP - lX f (j f(p)+(xP + f-PP)l d $ +
f J La not 1.- -I l f ( px + 1.l 1-+ l x - da 2r
~~0 0~~~~~ 1
*) La notation. P. I, P. III designe les formules, qui se trouvent dans la premiere, ou dans la
troisieme Partie.
[1] SCHLOMILCHC, Grunert's Archiv, Bd. 4, S. 316.
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