Exposé de la théorie, des propriétés, des formules de transformation, et des méthodes d'évaluation des intégrales définies / par D. Bierens de Haan.

VARTIE DETJXIEME.

FORMULES DE TRANSFORMATION diNARALES.
1. Les principes expose's de la tlh6orie des int'gae dfie nosfournissent les Y-noyens
Ilecessaires de de'duire plusieurs the~ore'ies gene'raux de transformation au sojet de ces fonctions,
o1Lt il se trouve Sons le signe d'into'gration d6finie one fontion, ou tout-a'-fait arbitraire, on souinise
quelqnes conditions plus on moius restrictives. Panis les discussions, auxquelles los diverses
transformations donnent lieu, il faudra, presque 'a chaque instant faire usage des diverses remnarques,
que, contient la Preminire Partie: de sorte qu'on peut d~ja considerer cette Partie-ci comme une
applicatiou de la the'orie des integraies d~finies, contenue dans la premie're.
11 y a quatre genres de ces th'or'mes de transformation npeir lieu ceux, qui m~nent
one evaloation finie d'ne integrale d6finie generale, en fonction ordinaireiment des coefficients-, qui se,
prisentent dans un de'veloppement de la fonction inte'gr'e. En deuxi~ine liencu x dans losquels on est
conduit?u ne aotre integrale d~flnii generale, qui est plus simple sous queique point de vue, ou qui
oifre pins dWavantages, pour la redoction dans chaque cas special, lorsquo la fornie de la fonction est
connue. Eu troisicrme lieu les, tbh'oreines, qoi con doisent 'a des sommatious de series; ces the'ore'mes
peuvent de ineme servir inverse'anent 'a la sormmation des suites par des inte'grales de'aoies. Eu'irl
los the'ore'ines, oUt ii se trouve encore des iutegrations doubles, quo 1'ou no pout re'duiro 'a uno
seule i11te'gration qu'apre's la sobstitution d'une forme spe'ciale pour la fonction. arbitrairo: 11 'dmpend
done en cc cas do cette forme, si lPinte'gration double est irreductible on non 14 onte sonic,
tegratioOl.
Pans le coors do- cette Partie il faodra souvent employer los valours d'ilnte.grales de"Y''i 1iios
speciales, valeurs qu'on no trouvora de'duites quo, dans la troisie'me Partie. Ccci pouortant noe pouarra
doniner lieu 'a des objections fonde'es, pourvu qu'on so garde do faire usagYe do telles formules quo
1'on aurait obtonues peut-e'tre,'- l'aide du the'orerme en discussion; cc dont ou pourra touj ours
facilemont s'assurer par l'inspoction du lieu cite', out so trouvo e'~valuation do l'fiutegrale dGiinie
einploy~ee Dans le cas contraire, oir E'on vondrait faire, usage do la valour d'unn integrale d~finie.,
d6coulant d'un the'or~mne, qnuon s'occope do de'montrer on. do de'duire, on tomberait n~cossairoemv
danis la -faute grave do raisonnement en cercle vicioux.
Pago 83. JI