Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III Vorlesuiigen iiber die lbypergeometrische Reihe. 8

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das Integral flbergelit, wenni x einen der Punkte 0, 1, y umliiuft,
homogen und linear mit konstanten Koeffizienten durch zwei unter
ihnen ausdriicken IieBen. Die Differentialgleichung k~5nnen wir leiclit
verifizieren, indem, wir das Integral einsetzen. Wenn wir nun links statt
des bestimmten Integrals das unbestimmte einsetzen, so liult sich die
Integration auch unbestimmt ausftihren, aber das Resultat verseliwindet
dann niclit an den G-renzen und die rechte, Seite wird dann niclit
gleich Null.
Es war
(Ocx 1
PIj a 3 yx
=const. xa (1 - x)yJ sauY( - IU~~ ~x~irs
das Integral genorumen zwisclien irgend zweien der Werte 0, 1, oc, xWir wollen noch cc und y gleich Null setzen und selireiben
y 1Js(1 - s)6(1 - xs)c ds.
Die linke Seite der Differentialgleichu-ng wird dann
(1 )~~dY2y +(a + b + 1 - (a -c + 1) x) ~- -+ c(+ a) xy.
Substituieren wir fMr y die Funktion
~=Sa (i - S)bl XS VS~cs
0
so wird der obige Ansdruck eine, Funktion von s und x, F(s, x). Weunn
nun s einen geschlossenen Weg dureblijuft, so wird sich q iindern, aber
der neue, Wert von 'q wird sich homogen und linear ausdriicken lassen
durch das Integral von 0 bis s und Integrale zwischen den Greuzen
0, 1, cc, x- 1. Da nun die letzteren Integrale den Differentialausdruck
zu Null machen, so kann sich F(s, x) nur um einen konstanten Faktor
iindern, wenn s einen geselilossenen Weg durchl'auft; auBerdem mui3
es fUr s == 0, 1, 0, x1 verschwinden bei geeigneter Beschriinkung
von a, b, c. Dadurch k~nnte man den Ausdruck direkt, bestimmen.
Rechnet man denselben dureli Einsetzen des Integrals fair,q aus, so
erhiilt man
F(s, x) =cXjf4Sa (I ~~s)b (1-_ XS)c-2 ((a + 1)(-xs) (1-s)
- (b + 1) s(1 -xs) -(c,- 1s(1- s) x) ds -cxsa~+ 1(1 ~s)b+'(1 ~xs)c -,
weun fMr die untere Greuze eine Nulistelle der rechten Seite gew'ahlt wird.