Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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86 ~~III. Vorlesunoen iiber die hypergeometrisehe Reihe.,

einzelnen Glieder der linken Seite sind dann dureli partielle Integration
so umzuformenl, daB in jedem, Glied 17 als Faktor unter dem Integralzeichen erscheint.
Man erhbiiit so bei unibestimmter Integration
~17(aniv ~d (a,,j 1v)+d~,)~ V)j (a it - d3~ s )
d~z a v) d(av) d (a. v)
dx x d - +d(1)
a~v- dx+..avd -I xvdx
gesetzt, so fult, das Integral links weg. Bezeichnen wir die n unabhiingigen partikuhiren Lbtsungen derselben Mit V.1 V2, V3,2...~ v.,, so kdnnen
wir ffur v setzenl c1V, + c2 v2 +... + cnV. und die VerhaItnisse der el, c2,..., I e
so bestimmen, daB, wenn wir die Integration zwischen 0 und x ausffllren, an der obern Greuze alle Koeffizienten von '? und semnen Derivierten verseliwinden bis auf eine. Wir erhalten so ',7 und seine
Derivierten ausgedrtickt dureli einfache Integrale. Was nun die Eigenschaften dieser Funktionen betrifft, so haben wir frillier nur bemerkt,
daf3 dieselben sich zurfickf~ihren lassen auf die Lo-sungen euler liomogenen
Differentialgleichung nter Ordnung. Wenn 17 irgend. eine, L~isung bedeutet, so ist auch iq + el y1 + c2 y2 + c3 y3 + **-. + c. y. eine s olehe und
jede andere ist in dieser Form entlialten, denn der Teil, der von
den y lierrillirt, wind gleich 0 und der von q herlllrende =- 0(x).
Daraus folgt nun, daB die Funktion 17 ulbergehit in 17 +e cY1 + C2 Y2
+ c3y3 + — + cjny~ wenn x und die Koeffizienten wieder denselben
Went annelimen.
7.
Gehen win jetzt zu speziellen Fiillen fiber, so haben wir gefunden,
daB das Integral
fa (I - s/l (1 -xs)cds
zwischen irgend zwei Wenten genommen, fair welehe die Funktion unter
dem Integraizeichen gleich Null wird, als Funktion von x einer Differentialgleichung zweiter Ordnung mit nationalen Koeffizienten in x genrigen muB, und zwar folgt dies daraus, daB sich die Werte, in welehe