Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen iiber die hypergeometrische Reihe.

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gleichung oder vielmehr durch Betrachtung des Quotienten als Funktion der unabhangigen Variablen.
Wir miissen nun noch andere Funktionen betrachten, die ebenfalls
mit den Losungen linearer homogener Differentialgleichungen zusammenhangen.
Wir haben bisher nur Differentia]gleichungen von der Form behandelt
d y d- 1 y dn-2y
ao- + a, d n- +...2 + a nY = 0 -wo die a0,, ao a,,,, a rationale Funktionen von x waren, und die
wesentlichste Eigenschaft der Losungen war, daB, wenn wir n Partikularlosungen haben, jede andere Losung ein linearer Ausdruck mit
konstanten Koeffizienten eben dieser ist. Daraus folgt, daB, wenn die
Koeffizienten und x wieder denselben Wert annehmen, diese Funktionen lineare Funktionen der friiheren sein milssen. Wir haben aber
den Fall noch nicht behandelt, wo die Differentialgleichung linear ist,
aber nicht homogen, so daB die rechte Seite nicht Null ist, sondern
eine gegebene Funktion von x. Wir wollen annehmen, wir hatten eine
solche Differentialgleichung
dnr- dn- I dn — 27
a -, - +a" a+ =. (x).
dxn +t dxne+~flfl()
Die Auflosung einer solchen Gleichung laiBt sich zuriickfiihren auf die
Auflisung einer linearen homogenen Gleichung nter Ordnung, und zwar
gibt es hauptsachlich zwei Methoden, die beide von Lagrange herriihren.
Wenn man die n partikularen Integrale y,, Y2, Y, *, Yn der Gleichung fiur C(x)= 0 kennt, so wird, wenn man fur y den Ausdruck
Ciy, + 2 Y2 + 3 y3 +... + CnY setzt, dieser Ausdruck der ersten Differentialgleichung geniigen, wenn die C Konstanten sind. Wenn man
aber diesen Ausdruck in die zweite Differentialgleichung einfiihrt und
die Ci als Funktionen von x betrachtet, so verschwinden die Glieder,
welche die Ci selbst enthalten und man hat dann noch einen Ausdruck, der nur die Derivierten der C( enthalt. Diese Differentialgleichung
fur die Derivierten der Ci laiBt sich dann integrieren und r daraus
bestimmen. Man bekommt dann die Ci durch bloBe Quadraturen, aber
es sind mehrere Integrationen nacheinander auszufihren.
Es gibt nun eine andere, ebenfalls von Lagrange herriihrende
Methode, die bequemer ist. Diese besteht darin, daB man die gegebene
Differentialgleichung mit einem unbestimmten Faktor v multipliziert
und dann zwischen den Grenzen 0 und x beiderseits integriert. Die