Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

c halbierenden, so erhalten wir drei Paare symmetrisch-kongruenter Dreiecke mit den Winkeln
'/ \ -', - und daher laBt sich die Funktion
P(v, v, v, x) durch eine algebraische Transforma/1 ^\, tion in die Funktion
1>< 3 2 1 3 V )
/ \, /\ iiberfiihren oder auch unter Anwendung der
A ' — ^ —^B vorigen Transformation in die Funktion
\4, p ~ I 3 V, X2) und P 32? X3
und auch in
~, 1^ P/ u
( I /)I 2v, X5
Das rechtwinklig gleichschenklige spharische
Dreieck ABC (Fig. 5) wiirde zur Funktion
D Y P(-, ( v,~ x)
Fig. 4. gehoren und die Transformation ergeben in
P(v, 2v,v,1) und P -,v,-x2 ) sowie in P(,2v,,x3).
AuBer diesen Transformationen, bei denen noch eine Exponentendifferenz willkuirlich bleibt, miissen aber noch
eD einige andere stattfinden, bei welchen alle Exc / \ponentendifferenzen feste Werte haben. Jeder
<v\ / j regulare Korper muB auf eine solche Trans<F.f formation fiihren, denn wir haben ja hier
/ die Zusammensetzung einer und derselben spharischen Figur aus kongruenten spharischen
A /B _ v\B Dreiecken. Ist aber diese bekannt, so lassen
V /v\ C sich die Transformationen leicht wirklich aufstellen.
G^ \ Eine besondere Behandlung wurde der Fall
^^\ ~\ erfordern, wo eine Exponentendifferenz gleich
\ Null [oder die Summe der drei Winkel < t
\ ist].(5) In diesem Falle wird man statt der
B sphiirischen Dreiecke ebene Figuren zu beFig. 6. trachten haben.
6.
Wir wurden auf diese letztere Betrachtung gefiihrt durch die Einfiihrung des Quotienten zweier Partikularlosungen unserer Differential