Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

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Wir hUtten also ein rechtwinkliges spharisches Dreieck, in welchem
ein Winkel p^z, der andere v z ist.
Wenn wir an dieses langs der Basis ein symmetrisch-kongruentes
Dreieck anlegen, so k6nnen wir das spharische Viereck ABCD auch
zerlegen in zwei symmetrisch-kongruente Dreiecke
mit den Winkeln 2,tz, vx, vzt oder 2vz, u, lp..
Wir konnen auch leicht die algebraischen Gleichungen zwischen den Funktionen x, x1, x2 finden,
welche zu den einzelnen Dreiecken gehoren, namlich
x zu AOB, x1 zu ADB und x2 zu ACB. Nehmen A C -^ - c
wir an, x erhalte in 0 den Wert 1, in B den \
Wert 0 und in C - und daher auch in A -
den Wert oo. Weil nun das Viereck einerseits aus
zwei Paaren zu x geh6riger und andrerseits aus
einem Paar zu x1 gehoriger Dreiecke zusammen- Fig. 3.
gesetzt ist, so ist x eine rationale Funktion von x1,
welche jeden Wert zweimal annimmt, wenn x1 alle seine Werte einmal
annimmt. Nehmen wir an, x1 nehme die Werte oo, 1, 0 an resp. in
ADB, so wird x1 auch in C den Wert oo annehmen. Dann wird x
nur unendlich, wenn es auch x1 wird, und ist daher eine ganze rationale Funktion zweiten Grades von xi, welche fur x1 = 0, I verschwindet.
Daher ist
x cx (1 (- xi),
wo die Konstante c durch die Bemerkung bestimmt werden kann, daB
bei einmaliger Umlaufung des Punktes 0 mit der Variablen z der zugeh6rige Wert von x1 einmal umkreist wird, dagegen von x der Wert 1
zweimal. Also verschwindet, wenn x1 fur z = 0 den Wert t annimmt,
dx 1
auch die Derivierte d[ fuir x = lt. Dies gibt t =, c 4. Damit
ist die friihere Transformation
x = 4x1 (1 - xl)
wiedergewonnen. Ebenso konnte man die Gleichung x- = 1 -4x, (1 - x2)
erhalten.
Man wiirde auch auf geometrischem Wege finden, da6, wenn zwei
Exponentendifferenzen ganz willkirlich bleiben sollen, keine andern
Transformationen moglich sind, indem sich keine andere Figur auf
mehr als eine Art aus Paaren symmetrisch-kongruenter Dreiecke zusammensetzen laBt. Fur den Fall, daB nur eine Exponentendifferenz
willkiirlich ist, haben wir zunachst das gleichseitige Dreieck ABC
(Fig. 4) mit den Winkeln vc. Zerlegen wir dieses durch die Winkel6*