Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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82 ~~~HI. Vorlesungen tiber die hypergeometrische Reihe.

symmnetrischi- kongruente sphiirische Dreiecke anschliel~en. Auf diese,
Weise lassen sich die Werte, welche die Funktion z vont x annimmt,
wenn diese Funktion beliebig weit fortgesetzt wird, geometriseli darstellen.
5.
Betracliten wir also x als Funktion von z, x f zso wird diese
Funktion auBer von z nur noch abhuingen von den Exponentendifferenzen A~, p, v. Denn die Ausdrticke ftir z bleiben unge'aindert, wenn
wir y mit einem Ausdruck von 'der Form x6 (1 - x)~, multiplizieren.
Bezeichnet x1 eine andere ahnliche Funktion von z mit den Exponentendiffereuzen Al, gl V1, so kann man sich die Frage stellen: In wvelchen
Flillen findet zwischen x 'and xi eine algebraische Relation statt?
Wenn wir nun annelimen, daB zwischen x und x1 eine algebraische
Gleichung F(x, x1) == 0 besteht, so k~5nnen wir eim Gebiet fUr z abgreuzen, so daiS in diesem Gebiet die Funktionen x und x1 jedes der
Gleichung F = 0 genilgende Wertepaar einmal und nur einmal aninelimen. Nun entsprechen einem bestimmten Werte von x 'a Werte
von x1, es wird also jeder Wert von x in diesem Gebiete n-mal vorkommen mfissen, also das Griu~engebiet von x die ganze unendliche
Ebene n-mal ilberdecken. Dann aber bestelit das Gebiet von z aus
'a Paaren symmetrisch -kongruenter, sphiirischer Dreicke, mit den
Winkein A4z, pz, vz~. Ebenso wird aber jeder Wert von xi Mm-nal
vorkommen miissen und es muB daher dieselbe Figur sich audi aus
rn Paaren symmetrisch-kongruenter Dreicke mit den Winkein Az ~,
FIZ ~,v1 zusammensetzen lassen.
Es muIS sich also dann emn und dieselbe sphairische Figur sowohi
aus 'a Paaren symmetrisch-kongruenter Dreiecke mit den Winkein Azr,
pzr, vz' zusammensetzen lassen, als auch aus m Paaren soicher Dreiecke mit den Winkein AI, r, pi7VI Z.
IDas ist dieselbe Frage, wie die folgende: Wann Miit sich eine
Funktion z (x) durch eiue algebraische Substitution in eine iihnliche
transformieren? (4)
Wir haben nun schon einigre soiche algebraische Transformationen
kennen gelernt und wollen diese jetzt geometrisch deuten.
Es konnte jede der Funktionen P (p, v, -i, x), P (v, 2 p2, xi),
P (i, 2v, pt, x2) durch die andern ausgedrflckt werden, wobei
x ==4x1(1 - xi) = - 4(1 -9
war.