Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

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Die allgemeinste Losung der Aufgabe bekommen wir, wenn wir eine
Funktion der complexen Variablen log tang - +- ip fir z nehmen.
Wir setzen z = tang ~ e;P.
Diese Funktion nimmt auf der KugeloberflUche jeden Wert einmal
und nur einmal an, wenn 0 von 0 bis z geht und (p von 0 bis 2z.
Fur den einen Pol wird dann z = 0 und fir den andern unendlich.
Man kann den Punkt der Kugel, welcher einem Punkt der Ebene entspricht, leicht finden, wenn man sich die Kugel die z-Ebene im Nullpunkt beriihrend denkt, und dann von diesem aus auf der Kugel den
Winkel 0 zahlt. Man hat nur den andern Pol mit z zu verbinden
und den Schnittpunkt von Pz mit der Kugel aufzusuchen. Zwei
Punkten, welche auf der Kugel diametral gegeniiber liegen, entsprechen
die Werte c und 1/c', wenn c und c' konjugierte GroBen sind. Geht
ein Kreis durch die Punkte a und b, so ist auf diesem Kreis das Argument von -- konstant.
4.
Wir haben friiher den Quotienten zweier Partikularlisungen
p(a) p(a') durch z bezeichnet und haben untersucht, wie sich z andert,
wenn x die Begrenzung des Gebietes der Gr6Ben mit positivem imaginarem Bestandteil durchlauft. Wir erhalten so als Begrenzung des
Gebietes fur z zwei gerade Linien, welche den Winkel (a - a') z miteinander bilden in dem x = 0 entsprechenden Punkte, und einen Kreisbogen, welcher mit den beiden Geraden resp. die Winkel (/3 - '),
(y y') x bildet.
Wir setzen diese drei Winkel als positiv und kleiner als z voraus
[Ist dann auch noch ihre Summe groBer als z,] so kann man die
tJbertragung dieser ebenen Figur auf die Kugel immer so einrichten,
daB den Begrenzungslinien groBte Kreise entsprechen.
Dann wird das Gebiet von z auf der Kugel auf ein spharisches
Dreieck abgebildet, dessen Winkel (a - a') t, (/t - 3') n, (y - y') a sind,
und die wir mit Al, Iu, vzt bezeichnen. Betrachten wir die Verteilung
der Werte von x auf diesem spharischen Dreieck, so wird an der
Spitze des Winkels AJ.: x = 0, an der Spitze von t-: x = oo und an
der Spitze von vz: x = 1 werden. Denken wir uns die Funktion x
fortgesetzt fiber eine der Begrenzungslinien, so wird, wiahrend x die
Werte mit negativem imaginarem Bestandteil durchlauft, z die Werte
durchlaufen mussen, welche in einem symmetrisch-kongruenten anstoBenden spharischen Dreieck liegen. Es wiirden sich so bestindig
RIEMANN'S gesamlnelte inathematische Werke. Nachtrage 6