Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

dz
und Y2 nirgends im Innern unendlich. Also kann - nicht verschwinden,
auBer in den Stellen 0, 1, o. [Es wird aber auch nicht unendlich]
und darum ist x innerhalb des von zwei Geraden und dem Kreisbogen begrenzten Gebietes eine eindeutige Funktion von z.(2)
Bei komplizierteren Differentialgleichungen wird im allgemeinen x
nicht eine eindeutige Funktion von z werden.
In der Theorie der ganzen elliptischen Integrale hat man auch
K'
den Quotienten K als Variable eingefiihrt, und ahnlich ist es auch bei
diesen Funktionen.
3.
Wir bedtirfen jetzt der Abbildung der Kugelfliache auf eine Ebene,
so dab die kleinsten Teile einander ahnlich werden. (3) Wir fuhren
auf der Kugel vom Radius 1 Polarkoordinaten ein und verstehen
unter @ den Bogen eines grioBten Kreises durch einen festen Punkt 0,
von 0 an gezahlt, und unter (p den Winkel dieses groBten Kreises mit
einem festen groBten Kreis in 0, so daB O = const. die Gleichung der
Parallelkreise und qp = const. die Gleichung der Meridiankurven wird.
Die Koordinaten eines Punktes in der Ebene bezeichnen wir mit
u, v und diese werden zufolge der Abbildung Funktionen von, <p.
Das Linienelement auf der Kugelflache wird
d 2 + sin 92dq)
und in der Ebene
dt2 + dv2.
Das Verhaltnis
de2 +-sin 2dq2d (d@ +isin Ed() (d-i-isin d(p)
dua- +dv (d + i dv) (du - i dv)
soil nun unabhangig von dem Verhaltnis d9: dcp sein. Daher missen
die Faktoren des Zahlers einzeln durch die des Nenners teilbar sein,
und zwar konnen wir immer annehmen, daB du + idv den Faktor
d 9 + i sin d(p teilt. Denn wir konnen ja die Koordinaten in der
Ebene beliebig annehmen. Wiirden wir die andere Annahme machen,
so wirde die Ahnlichkeit die entgegengesetzte sein.
Wenn wir u + iv = z setzen, so ist
dz = m (d + i sin d(p),
wo m eine Funktion von ~ und (p bedeutet und so zu wahlen ist,
daB die rechte Seite ein vollstandiges Differential ist. Setzen wir
m = (sin 0)-1, so bekommen wir
z = log tang - + iq.