Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

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Also wird in der Nahe von x = 0
z = Q ra-a'e(a-a')iTp
wo x = re'P gesetzt ist und qp zwischen - E und + n genommen ist.
Geht x in der Nahe der Null von + r nach- r durch Werte mit
positivem imaginarem Bestandteil, so wird fur x - r
z = Q(- r) - r- e(a-)
also, da fur genuigend kleines r Q(- r) positiv ist, eine GroBe mit
dem Argument (a - a')z.
Es sei zuniichst ( - a') < 1, dann wird z fur negative Werte
von x Werte durchlaufen, deren Argument (a - a')r ist. Diese Werte
liegen daher in der — Ebene auf einer geraden Linie, welche mit der
Achse der reellen z den Winkel (a - a') bildet.
Wir haben noch den Verlauf von z zu untersuchen, wenn x von
1 bis xo geht. Wir wissen, daB P(a) und P(') gleich sind linearen
Ausdriicken von P(r) P(r) mit konstanten Koeffizienten, und zwar sind
diese Koeffizienten reell. Wenn x groBer wird als 1, so ist
=p (1 - x)-Y (1 + A (1 - ) +...).
p(Y)
Wenn wir fur 0 < x < 1 das Argument von x gleich Null nehmen,
so erhalten wir fur die Werte von z die Form
p +p- e
+ q' e(Y-Y')i
und p, p', q, q' bleiben immer reell. Die Werte von z liegen daher auf
einem Kreisbogen.
Es fragt sich nur noch, ob z jeden Wert, der innerhalb dieser
Figur liegt, einmal und nur einmal annimmt.
Innerhalb dieses G(roBengebietes ist z eine stetige Funktion von x.
Wenn wir umgekehrt x als Funktion von z betrachten, so wird
dz
die Derivierte i- immer endlich und stetig bleiben, wenn nicht x eine
mehrdeutige Funktion von z ist; und umgekehrt, wenn dieses der Fall
dz
ware, so wiirde fur einen Verzweigungswert dieser Funktion - = oc
dz
oder a- = 0 werden mussen.
o ddxo
Um also zu untersuchen, ob h- immer endlich bleibt, bilden wir
dz Y Y21 - Y2 Y1'
dx Y,2
Nun ist
YT Y2 - Y2 1 CXa +'- 1 (1 - XY -