Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen ilber die hypergeomettische Reihe.

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Wenn z in yz +, ubergelit, so nimmt x = f(z) wieder denselben
dz
Wert an. Wenn wir nach x differenzieren, so geht dz bei Durchlaufung eines geschlossenen Weges von x fiber in die Derivierte von
a z - nach x, wir haben also
dz' aJ- y dz
dx -- (yz+d)2 dx
Wir wollen nun voraussetzen, daB a6c - fl= 1 sei. Wir erhalten
dann
(dZ')-'/2 (dZ) ( +
-dXJ = kdx+ 3)
Idd1/ d\ -21A
Eso gelien, also und Id' - fiber in lineare Ausdr-icke derselben Funktionen.
Setzen wir daher
Y,- (dz \ /2
k idx)l"so sind Y,, Y2 zwei partikuliire Lo-sungen derselben Differentialgleichung
zweiter Ordnung, deren Koeffizienten algebraische Funktionen sind.
Wenn also eine Funktion mit einer solehen Eigenschaft gegeben
ist, so kann man umgekehrt wieder zur Differentialgleichung Uibergehen
und man wird die Koeffizienten der Differentialgleichung ableiten
kinnen, wenn man die Eigenschaften der Funktion x kennt. Man
wird daraus die Eigenschaften von Y1, Y2 ableiten ko-nnen und hieraus
die Differentialgleiehung. Wir verfabren so, daB wir aus Y,, 1T die
Ausdruicke bilden Y2' Y1 - Yj' Y2 Y1" Y2- Y2" Y1, Y2" Yj' - Yj' Y2'.
Sind diese Funktionen proportional zu a0, a,, a2, so findet die
Gleichung
~" + ay ~ ay = 0
statt.
Wir erhalten
Y2'Y1- Y1' Y2, y1"y2 - Y2"y1=,
IdZ 1/ d2 d /2
Y2 " Y1' Y1'/ Y2' = - Z 2 d cZ -'1
kd x drPx4
Die Differentialgleiehung fUr Y,, Y2 lautet also