Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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III. Vorlesungen iiber die hypergeometrieche Reihe.

B. Uber die aus linearen Differentialgleichungen entspringenden
Funktionen.
1.
Wir wollen eine Funktion betrachten, welche einer Differentialgleichung geniigt
(1) aoy" + ay'+ a2y = 0.
Wenn wir zwei partikulare Losungen der Differentialgleichung mit
Y1, Y2 bezeichnen, so muB sich jede Losung der Differentialgleichung
durch Y1, Y2 linear und homogen darstellen lassen.
Durchlauft x einen geschlossenen Weg, auf welchem ao a, a2
wieder ihre urspriinglichen Werte annehmen, so werden Y1, Y2 uibergehen in lineare homogene Funktionen der namlichen Gro"Ben mit konstanten Koeffizienten.
Bezeichnen wir nun den Quotienten von Y1, Y2 etwa mit z, so
wird dieser auf einem solchen Weg iubergefiihrt in
(2) B azS.
Betrachten wir umgekehrt x als Funktion von z, so wird die
Funktion
x = f(z)
die Eigenschaft haben, daB
f(z) = f y +
Wenn die Funktion z mehrere Verzweigungsstellen hat, so wird
es mehrere solche rationale Transformationen ersten Grades geben, bei
denen f(z) ungeandert bleibt, und da durch wiederholte Anwendung
mehrerer solcher Transformationen nacheinander wieder eine rationale
Transformation ersten Grades entsteht, welche man aus diesen zusammengesetzt nennen kann, so wird f(z) ungeandert bleiben bei den
zu Verzweigungsstellen gehorigen und den daraus zusammengesetzten
Transformationen.
Nehmen wir nun an, wir hatten eine Funktion, welche die Eigenschaft hat, ungeandert zu bleiben bei gewissen Substitutionen dieser
Art und stellen wir uns die Aufgabe, die Differentialgleichung, mit
welcher die Funktion zusammenhangt, daraus abzuleiten.