Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

74

74 III-11-. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Iteihe.

Man erhuIlt daunn far diose Glieder:
rn-i
z II ~~~~~~~~1(n)
Differenziert man nun nach a, so erhiailt man
(-1'-1P(a, d, c, 1 - x)
H\F(nl- 1 -b) lii(n +d) Ho)m- n- 1) XI-I
+I ( —b) I -( 1 )+ nn) 1 (n + _a) (U~p + a) - T!(n + m)) xn
+ H(-1- 2'~~~ H~ I(n + m)
+ ~~~~~rnl7(n) -I (-rn) H~ ((Pn + d) -W - mf) ~ lx) xn m
oder nach Reduktion
(~1)'-P (a, d, c, 1 - x) 1I(a - m) HI(d + m)
= ~~T ( 1)7(n +a)WHn +r + d)TI(-,n- 1)
___ ~ ~ TI(rn+n)X
+ H(n +a) ~n m d)xn( (P(n +a) + f'(n+ m+d) - I'(n) - I(n + m) + lx).
Anmerkungen. Diese Abhandhung und die folgende ist der v. Bezoldschen
Naclischrift einer Vorlesung fiber die hypergeometrische Reihe entnommen, fiber
welche (s. auch Vorrede) weiter unten ausfffihrlich bericlitet wird. Ffir die hier
behandelte Frage, siehe Werke pag. 81 (76 der ersten Aufi.) unten.
Die Behandlung des Grenzfalles c + d + 1 - -ni ist in dieser Nachschrift
von dem vorhergehenden durch eine Auseinandersetzung fiber die Normierung der
konstanten Faktoren getrennt, welche aber ebenso wie die Entwicklungen fiber dell
Grenzfall in den Rechnungen und zum Teil auch im Text ifickenhaft, ist. Der
letztere wurde daher nach einer Vorlesungspr~paration mit dem Datum 12./Iil.1857
(Heft 19, von Akt 19) gegeben, jedoch die Bezeichnung mit der vorhergehenden in
tDbereinstimmung gebraclit. TI(n) ist das Gau~sehe Zeichen, dessen Werke 1117 S. 153.
Zur Behandlung des Ausnahmefalles sei bemerkt, daiS er im wesentlichen
mit den Nummern 44-47 der von GauB nacligelassenen Abliandlung fiber die
hypergeometrische Reihe Problem und Metliode gemeinsam hat. Ffir die neuere
~~~ ~~Litteratur der hier behandelten Fragen vgI. man die Dissertation
von Schellenberg, Gbttingen 1892.
Was die Doppelumlaufintegrale betrifft (vgl. die Anmerkung (3)
Werke pag. 87 der 2. Aufi.), so ist es vielleiclit von Interesse,
daiS sich in den Riemannschen Papieren im Akt jaria 28"1 auf
Fig. 2. einem einzelnen Blatt ohne jeden Text versehiedene Skizzen zu
Integrationswegen, wie sie den kanonisohen Querschnitten entsprechen, finden