Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.

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und diese Relation gestattet das Integral P (a, d, c, 1 - x) durch Potenzreihen nach x darzustellen, was direkt nicht mo-glich ist. Dabei ist
aber vorausgesetzt, daB nicht etwa c + d gleich einer ganzen Zahi wird.
Doch kann man auch in diesem Fall die Darstellung von
P (a, d, c, 1 - x) finden durch Differentiation der obigen Gleichung.
Denken wir uns b und c konstant und a variabel, so ist d auch von
a abhi'ingig und wir erhalten
Od
Oa
Nach der Differentiation nach a ist dann a + b + 1 = - (c + 1) = rn
zu setzen. Wir erhalten so:
(, 1- x) = a(d, c, b, x) sP(d,c, b, x) xm sin
+ Ix c x- "PPd,, b, x) sin ze
und bekommen
aP (a, b, c, x) Srs(-: ~1s)s
~9P~ct,, cIx) sca(1 - s)b (1 - xs)cds
aa
0
iP(d, c, b, x)(I - s" (I - s)d(1 - xs)bds.
Od
0
Diese Integrale lassen sich nach Potenzen von x entwickeln, bequemer geht man aber von den ReihenentwickLungen selbst aus.
Es ist
sin zbP (a, b, c, x)
00 ~ ~ ~ ~ ~ X
-- _______i t HI(-I - c + n)1IT(a + n) X
H(- I - b) rI 11nff, r (a +- b +- n + 1)1
und daher
sin zc ~ d) P (a, d, 0,1I - x)
_______ Th(-1-c + n)Hl(a + In)
IH(-l-b)HIQ-l-cA 0 HnFI(a+b+n+1)
H r n- - -b) ]Y(Y $-d)xn+c+d+l
rr7(Y) H:~n + c + da + 1)
Wird hier a+b+ 1 = -(cd+ d 1)=n gesetzt, so wiirden
bei positivem m in der zweiten Reihe 1- Funktionen mit negativen
ganzen Zalilen als Argument auftreten, solauge n < m. Diese miissen
vorher umgeformt werden, indem man Z~ihler und Nenner mit
JI(- 2 - n - c - d) multipliziert.