Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

72 III. Vorlesungen fiber die hypergeometriselie Reihe.
00/0
Es haben also in der Tat diese Integrale alle Eigenschaften, welehe
die P-Funktion definieren und zwar liefern sie, gerade die Funktionen
Denn sie gehen bei Uml'anfen urn die Yerzwei'gungyspunkte in
lineare, Verbindungen derselben Integrale, u-ber, lassen sich dureli zwei
uinter ilinen ausdrflcken und zeigen das fuir die Verzweigungspunkte
vorgeseliriebene Verhalten.
Fuihrt man zur Abkflrzung die Bezeichnung emn:
I
P(a, b, c,x) ==fsa(1 -s)b(1 -xs)cds,
so gibt das obige Verfaliren, angewendet auf die Funktion
(~s)c (1- x 1 xs)c ds,
die Relation
01
sin z6fr - s)" (I1- s# (1 - xs)cds + sin zt (or + a)fs (1- S)b (-xs)e ds
0
x-1I
+ sin z (6 + a + b)fSa (s- 1)(I - xs)ods
+ sinxz(ar+ a + b+c)f Sa (S _)b (XS -1)cds =O
x-
oder wenn man saimtliche Integrale auf die Grenzen 0, 1 transformiert,
was im ersten dureli die Substitution s' 1 im dritten durech
1 (s -1) und im vierten dureli s'-=(x s)1gsietun
a~b+ c+d+2=0O setzt:
sinz rrP(a, d, c,1-x) +sinnQ + a)P(a, b, c,x)
+ sinzr~i + a + b)P~b c, a,x x 1l) b.1I(1 - ~
+ sin z(o + a + b + c) P(d, c, b, X) X,+d+ I 0.
Setzt man a -- a -b, so erhiilt man
sizc+d ~,d lx =snzPa,c)snc~cxx,"'