Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III. Vorlesungen iiber die hypergeometrische Reihe.

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Das Integral fiir Pr zeigt direkt, daB es sich fur x = 1 verhalt
wie const. (1 - x)Y und das Integral fur P., zeigt nach der Substitution
s= ---
s = 1 - - s', dab es sich fur x = 1 verhalt wie const. (1- x)Y'.
Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, daB sich alle die obigen Integrale
immer durch zwei unter ihnen linear ausdruicken lassen.
Wir haben die Funktionen P,, P,,, Pp, Ps,, P,, Pi. erst bis auf
konstante Faktoren bestimmt. Wir bestimmen nun diese konstanten
Faktoren im ersten und letzten Paar so, daB wir die Basen der Potenzen
fur positives reelles x zwischen Null und Eins zwischen den Integrationsgrenzen immer reell und positiv haben.
Integrieren wir dann die Funktion
(- s) (1- s)6 (1- xs)cds
um das gesamte Gebiet der Gro5Ben mit positivem imaginarem Bestandteil, so ist das Integral Null und wir erhalten
0 1 -1 Xo
-— o 0 1
Dricken wir nun die einzelnen Integrale durch die nach der
friiheren Bedingung bestimmten P,, Pa,. etc. aus, so bekommen wir:
Py + e-ai P e-(+b)ri Py, + e-(a+b+c)7i p, = O
und wenn wir ebenso um das Gebiet der s-Werte mit negativem imaginairem Teil integrieren:
Py + e+a7i P + e(a+b)i Py, + e(a+6+c)iP = 0,
wo
a = - a'- ~3'- y', b = - a'- a - y, c = - a - P'- y
gesetzt ist. Multipliziert man die erste Gleichung mit e(-" a')ti die
zweite mit e-(-"')~i und subtrahiert, so kommt
Py sin (6 - ') z + P, sin (o + P'+ ') - Py' sin (a - a)
- Pa sin(6 + P' +,) r = 0.
Um aus dieser Formel eine Funktion zu eliminieren, braucht man
bloSB so zu wahlen, daB der Faktor dieser Funktion verschwindet, so
z. B. = a' fUir Py oder 6 = a ffir P,.
Aus diesen Formeln folgt dann, daB sich in der Tat jedes der
6 Integrale durch irgend zwei andere ausdriicken laBt. Denn es lassen
sich die Integrale von - oc bis Null und von 1 bis x-1 ausdruicken
durch die Integrale von Null bis 1 und von x-l bis oo, und fir die
beiden iibrigen Integrale hat man