Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

III.
Vorlesungen fiber die hypergeometrische Reihe.
(Wintersemester 1858/59.)
A. tber die Definition der P-Funktion durch bestimmte Integrale.
Wir haben das Resultat erhalten, daB Integrale von der Form
sa (1- s)6 (1 - xs)cds
zwischen den Grenzen 0, 1, oo, x- genommen auf sehr viele Arten
durch hypergeometrische Reihen darstellbar sind, und daher auch einer
linearen Differentialgleichung geniigen.
Wir wollen nun umgekehrt untersuchen, wie sich ein solches
Integral als Funktion von x verhalt, und werden direkt zeigen, daB es
eine P-Funktion ist.
Betrachten wir namlich das Integral
1
fsa (1 - s)b (1- xs)0ds,
0
so wird die Funktion unter dem Integralzeichen nur unstetig, wenn s
einen der Werte 0, oo, 1, x-1 annimmt, sonst andert sich die Funktion
stetig.
Das Integral ist langs der reellen Achse von 0 bis 1 erstreckt,
wir konnen es aber auch auf jedem andern Weg nehmen, wenn dieser
nur keinen der Unstetigkeitspunkte mit der Strecke der reellen Zahlen
von Null bis 1 einschlieBt.
Lassen wir daher x- einen positiven
Umlauf umr den Punkt 1 machen, so andert y
sich das Integral immer stetig, solange x-1
nicht durch den Integrationsweg hindurchgeht. Fig. 1.
Lassen wir also den Integrationsweg immer
in geeigneter Weise ausweichen, wenn x-1 den Umlauf um 1 macht,
so wird auch am Ende des Umlaufes das Integral ubergegangen sein
in ein anderes, welches von Null ausgehend um x-1 herumlauft und
dann erst nach 1 zuruickkehrt.