Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

(38 II Integrale einer linear. Differentialgleich. 2. 0. in einem Verzweigungspunkt.
(6) zl+ 6'=<x (x - a)a 'a'(x - a)"
wo e2 - + t 67.
Sind & und 6' niclt einander gleich, so sind die beiden L~sungen
2 +t z = z(a) und z, + c22 = Z(a') voneinander versehieden, also ist jede
andere LO-sung durch 2(a), 2(') linear darstelibar.
Sind aber die Wurzeln der Gleichung (3) einander gleicl, so ist
- U 72 - 2rE = t - s = 2u
also
o3 = tz,~+ w2 = (t + Er)z z+ - (z~ + E2)
und
3 (x - azae2(xia = z1(X - a)-a + (z, 62) IC (x - a)-"
wenn e - t + Er und C = ~ gesetzt wird.
8 (t + ser)
Da nun
z, (x - a)-" (X - a)-ae- 2 a 7ti
so muB
Z1 (x - a)-," -+ z, (x - a)-a + (z, + E622) k (x - a)-
Da ferner
ki k,i(x - a)-'a(z + Ez2) 1 (x - a) -* -i- ( - a)a(2, 622)lx - a)
+ k (x - a)- a (+, + u22),
so muB die Funktion
Z, (x - a)-a - k (x - a)a (z2 ~ c-22) 1 (x - a)
bei einemr Umlauf von x ur a ungeaindert bleiben, also sich in der
Form b, (x - a) darstellen lassen, daher ist
~ 00 ~0
z =( - a)ai(x - a)a a.(x - a)n~ (x -- a)a bn (x - a)
wenn
+ 00
Z, + Ez22 (x - a),"27a. (x - a?
000
isL,
Anmerkung: Die vorstehenden Ausfifirungen sind w6rtliche Wiedergabe aus
einer von E. Schering angefertigten Nachschrift der Riemannschen Vorlesung
fiber Differentialgleichungen im Wintersenester 1866/57 und zwar von Seiten 2227
223 des ieftes. Sie zeigen ebenso, wie die in III, A mitgeteilten Formeln, daB
Riemann das Auftreten logarithnischer Integrale in der Tat in seinen Publikationen nur aus 11uBeren Griinden ausgeschlossen hat. Vgl. Werke pag. 69, oben
(64 der 1. Aufi.) und pag. 381 (369) ff. W.