Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

Anmerkungen.

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oder
y 11
e = Y, a' == -, f -= a, e' = a-,
oder auch
aC(1 c= 1 P1,
bei welch letzterer Annahme sich die quadratische Relation schon aus den
beiden ersteren Gleichungen unmittelbar ergibt.
Ein anderer Teil der Rechnungen geht von der Gleichungsform fir p = 4
3 3
F(s, z)= 0
aus, nimmt verschiedenartige Normalformen fir die vier Funktionen qp an,
und sucht vier lineare Funktionen derselben 1,, *p4, so zu bestimmen,
daB eine Relation
22 33 11
f2(s, Z)- 9p1,, ( cp - F (s, z) (s, z)
besteht, von hier aus aber den Ubergang zu jenen Relationen zwischen Wurzelfunktionen zu machen. Als Grundgleichung findet sich auch:
(S- z) S2Z2 + SZ [a (S2 - Z2) + pZ (S - Z) + CZ2] + [y (s3 - Z3) + 6z (s2- z2)
+- z2(s - z) - 2cz3] + [((S2 - z2) + n (s - z) + CZ2] + O(s- z) = 0,
mit 9 Moduln explicite.
Dazu kommen noch einige Rechnungen, um die allenthalben endlichen
Integrale fur p 4 aus der Darstellung durch zwei homogene Gleichungen
2. und 3. Grades zwischen vier Variabeln direkt abzuleiten; sowie fur p = 4
Zerlegungen von Gruppencharakteristiken in Summen von je zwei Charakteristiken.
(20) (Zu Seite 23.) Seite 23-45 nach den Heften von Prym und Minnigerode.
(21) (Zu Seite 27.) Die Einfihrung von p + 1 symmetrisch eingehenden Grenzen
in die Argumente der beiden Thetafunktionen findet sich in F. Pryms Arbeiten
(a. a. 0.), dann bei H. Stahl:,,Uber die Behandlung des Jacobischen Umkehrproblems der Abelschen Integrale" (Crelles J. Bd. 89 und Dissertation Berlin
1882); die von 2p —2 symmetrisch eingehenden Grenzen fur p = 3 bei
H. Weber:,,Theorie der Abelschen Funktionen vom Geschlecht 3" (Berlin
1876), fur beliebiges p bei M. Noether:,,Zum Umkehrproblem in der Theorie
der Abelschen Funktionen" (Math. Ann. Bd. 28), und zwar bei beiden fur
beliebige Charakteristiken (a), (b), wahrend Riemann in seiner Vorlesung die
Formel nur fur ungerade Charakteristiken aufgestellt hat. Die Verallgemeinerung auf beliebige Vielfache von 2p- 2 findet sich bei F. Klein:,,Zur
Theorie der Abelschen Funktionen" (Math. Ann. Bd. 36). Die Jacobische
Konstantenbestimmungsmethode ist auch an allen diesen Stellen angewendet.
(22) (Zu Seite 30.) Riemann hat in seiner Vorlesung die Rechnung nur bis
Formel (10) incl. vorgetragen und dieselbe dann mit der Bemerkung abgebrochen:,,Wir k6nnen die Rechnung [fur p= 3] nicht mehr ausfiuhren,
weil wir sonst keine Zeit fur die hyperelliptischen Funktionen behalten. Man
konnte auf diesem Wege die Relationen zwischen allen (0, 0, 0) erhalten,
wenn man nur erst das ganze System der Quotienten der (0, 0, 0) durch
die sechs algebraischen Moduln berechnete. Sie ergeben sich ibrigens auch
auf dem nachher folgenden umgekehrten Wege."