Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

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Anmerkungen.

(17) (Zu Seite 22.) Riemann hatte durch Versehen gesagt:,,bis auf eine additive
Konstante bestimmt"; v' ist aber durch die reellen Teile der Periodizitatsmoduln bis auf eine rein imaginare Konstante bestimmt. Cf. die in Anm. (18)
zitierten Arbeiten.
(18) (Zu Seite 22.) Von diesem zweiten, mittels des Dirichletschen Prinzips gefiihrten Beweise des Satzes (A) hat Roch in seiner Anm. (16) genannten
Schrift eine Ausfihrung versucht. Wie Herr Prym (,,Zur Integration der
gleichzeitigen Differentialgleichungen etc.", Crelles J. 70, 1869 und,,Beweis
zweier Satze der Funktionentheorie", ibid. 71, 1869) bemerkt, hat Roch dabei
ibersehen, dab die Funktionen v' auch an den Begrenzungslinien c von T'
Periodizititsmoduln haben missen, und dab infolgedessen die reellen Teile
der Periodizititsmoduln von v' an den Querschnitten a, b nicht v5llig willkiirlich sind, daB vielmehr zwischen ihnen eine lineare homogene Relation
bestehen muB. An Stelle der Untersuchung in den ~~ II und III von Rochs
Schrift hat daher die von Prym, insbesondere Art. 4 von dessen Aufsatz in
Crelles J. 71, zu treten, um zu beweisen, daB der reelle Teil von v' durch
die reellen Teile von 2p - 1 der 2p Periodizitatsmoduln in den Beziehungen
a),?) vollig bestimmt ist. Die weitere Folgerung, daB jede der Funktionen
v' durch p - I von ihnen und eine imaginare Konstante linear und homogen
ausdrickbar ist, ist dann bei Roch ~ IV richtig (nur daB, da dessen Determinante D immer verschwindet, der erste der beiden Falle dieses ~ IV wegfallt); aber das Verstandnis dieses Satzes wird eben nur durch die Bemerkung
Pryms geklart. Man sehe auch den unten folgenden Bericht fiber die Fragmente zur Theorie der allgemeinen Thetafunktionen.
(19) (Zu Seite 23.) Am SchluB der Anm. (16) zitierten Schrift bemerkt Roch, daB
Riemann sich auch fuir p > 3 mit den p - 2 Relationen und den in sie eingehenden Moduln in seinen Vorlesungen beschaftigt habe. Tatsachlich aber
hat, nach den hierin zuverlassigen Heften, Riemann nur das vorgetragen, was
im Texte, S. 15-23, in groBem Drucke mitgeteilt ist. Insbesondere hat er
die fir p= 4 existierenden beiden unabhangigen Gleichungen zwischen den
Produkten je zweier Abelschen Funktionen nicht diskutiert.
Wohl aber finden sich in den Gottinger Papieren, Akt Nr. 19 (Bogen
9-14, 19-28, 33, 35, 44 desjenigen der finf Konvolute dieses Aktes, das
noch besonders mit,,Abelsche Funktionen" iberschrieben ist) und Nr. 25
(,,Taria", Bogen 2, 10, 19, 22-25, 28), eine Reihe zerstreuter Rechnungen
fiber den Fall p = 4, die aber alle nicht fiber die ersten Ansatze hinausreichen. Ein Teil derselben geht von drei Relationen der Form aus:
Yx1i + VxS$ 4+ vX5 x+ VX7 8-= o
aI 1 Xs + X lX2 X8 4 ~+ +1 +1 V 7 + P1' f/x6X8 = 0
a 1 + a fX4 + t2 /X 2 X3 P~2 /X85 8 + 22 OX6 =X7 0
leitet daraus durch Quadrieren und lineare Elimination von l/1x, xx4 und
V/x 6 x7 xs8' die quadratische Gleichung zwischen den qp her und vereinfacht
diese durch verschiedenartige Bestimmungen der Konstanten a, P, wie,I I 1
1-1, = F + ^ * l1 = 1 = ^ + A
~{2r-, 6!2~, i = 'P 22 -