Bernhard Riemann's gesammelte mathematische Werke. Nachträge. Herausgegeben von M. Noether und W. Wirtinger. Mit 9 Figuren im Text.

Anmerktingen.

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S. 47 der in Aiim. (11) zitierten Note, zu modifizieren. So sind im hyperelliptischen Palle p - 4 auci dessen Gleichungen (19) und (20) nicht miteinander vertrilglich.
(16) (Zu Seite 20.) S. den freilich nur fMr p = 3 gefiihrten algebraisehen Nachweis, Werke 2. Aufi. XXXI (1. AWfi XXX). Eine ailgemeun giltige Bestimmung
der Anzahl der Zerlegungen einer Gruppencharakteristik in Summen je zweier
Thetacharakiteristiken findet sich durch den SchluI3 von p auf p + 1 auf einem
Bogen von Riemanns in G~ttingen befindlichen lManuskripten, Akt. Nr. 19
(s. das darin enthaltene Heft,,Abelsche Funktionen", Bogen 11):,,Die Anzahi der geraden Charakteristiken ist cap - 2P - (2P + 1), der
ungeraden P, -= 2P-i (2P - 1). Sei ferner angenommen, daJ3 ffir p die Anzahl der Zerlegungen irgend einer der 2 2p _ 1 Gruppencharakteristiken
in Paare sei:
von j e 2 geraden Charakteristiken: yp 2P - -1 + 1) = i
1 2 ungeraden,, t P-(P' 1,,
Da die Anzahl aller Zerlegungen vo(:n in Paare =- 2 2p- 1 so folgt dann,
daB die Anzahl der Zerlegungen in Paare von je 1 geraden und 1 ungeraden
Charakteristik sei:
-P= 2 2p1 - yp - =pz- 2 2p-2 G aP_ +
Nun hat man aber bei Zuffigung euner weiteren Kolonne zn (S) Rekursionsformeln, nitmlich ffur die Paarzerlegung
von (~ ) ~13y +~a I +1g ++1
von oder od ) oder(
Setzt ma he odie Wet vo,0 wih u 1 oder 2 direk
Zn bestfttigen sind, emn, so erhlit man dieselben Formein, fMr p + 1 genommen.it
FUr eunen direkten Beweis of. Pryms in Aiim. (2) angefiihrte Arbeit,
Abh. mI.
(16) (Zn Seite 21.) In der Einleitung zu seiner llabilitationsschrift,,De theoremate
quodamn circa functiones Abelianas" (Haile, Okt. 1863), weiche den vorliegenden
Riemannschen Satz (A) behandelt, erw~hnt G. Roch, daiS Riemann einen abzAhlenden Beweis gegeben habe, der wegen seiner Abhiangigkeit vein Ausdrucke F (s, z) == 0 nicht allgemeun giltig sei. In der That aber ist dieser
Beweis mit leichter M-ihe weiter zu fiihren, indem man nur beachtet, daiS
die 2p - 2 Punkte, in denen j/7versohiwndet, durch keine Funktion qp verkniipft sein k6nnen, wenn )/~, nicht rational werden soil, also den Beweis
auf den des Satzes (B) (s. dieselbe Seite) zuniickbningt.